Les matrices

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  • Publié le : 13 novembre 2011
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Calcul matriciel
I.Notion de matrice

A est une matrice 3 x 3 car elle est composée de 3 lignes et de 3 colonnes (L x C). Ses composants sont les aij où i est le n° de ligne et j celui descolonnes. On peut utiliser les matrices pour résoudre des systèmes :

On peut écrire, x1’= a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 x2’= a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 x3’= a31 x1 + a32 x2 + a33 x3

II.Opération sur lesmatrice
A/ Egalité 2 matrices A et B sont égales si pour tout i et j, on a : aij = bij. B/ Somme et différence Soit 2 matrices A et B, on écrit S la somme de A et B : sij = aij + bij = bij + aij. =>l’addition de matrices est commutative. Soit 2 matrices A et B, on écrit D la différence de A et B : dij = aij - bij ≠ bij - aij. => la différence de matrices n’est pas commutative.

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C/Multiplication de matrices

c11 = a11 . b11 + a12 . b21 + a13 . b31 c21 = a21 . b11 + a22 . b21 + a23 . b31 On peut remarquer que les cij ont le même i (ligne) que les aij et le même j (colonne) que les bij. Onpeut donc écrire :

D/ Multiplication d’une matrice par un scalaire Soit une matrice A et un scalaire λ alors B = λ A, bij = λ.aij.

III.Décomposition d’une matrice carrée en 2 matrices, l’unesymétrique et l’autre antisymétrique
A/ Définition Une matrice A est dite symétrique si pour tout i et j, aij = aji.

Une matrice B est dite antisymétrique si pour tout i et j, bij = -bji et bii = 0.B/ Décomposition Toute matrice M se décompose d’une façon unique en A symétrique et B antisymétrique. aij = (mij + mji) bij = (mij – mij) 2 2 C/ Transposition des matrices On appelle matrice‘transposée de A’, At = aji. => ‘ on échange les lignes et les colonnes’. Propriété : (A.B)t = B t.A t

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IV.Déterminant d’une matrice
On note det A ou |A| le déterminant de la matrice A (c’est unnombre.)  Calcul du déterminant d’une matrice 2 x 2. det A = a11 a22 – a21 a12  Calcul du déterminant d’une matrice 3 x 3. det A = | a11 a12 a13 | = (-1)1+1 a11 | a22 a23 | + (-1)1+2 a12 | a21 a23...
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