Les probabilités

Notion de variable aléatoire :
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs prises par X.

Evènements liés à une variable aléatoire :
Soit X une variable aléatoire définit sur l’univers E.
L’ensemble des valeurs prises par X est :
E’= (x1 ; x2 ; …; xn) où les valeurs sont rangées par ordre croissant.
Le nombre xi est associé à une ou plusieurs issues de E.

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire :
E(X)= x1p1+x2p2+…+xnpn
Ou = n E pixi i=1
C’est à dire somme des pixi pour i allant de 1 à n.

Variance mathématique d’une variable aléatoire :
V(X)= p1(x1-E(X))2+p2(x2-E(X))2+…+pn(xn-E(X))2
Ou = n E pi(xi-E(X))2 i=1

V(X)= p1x12+p2x22+…+pnxn2-E(X)2
Ou = n E pixi2-E(X)2 i=1

Espérance de aX+b et variance de aX :
Soit a et b des réels, alors E(aX+b)=aE(X)+b et V(aX)=a2V(X).

Si la variable aléatoire X prend les valeurs x1 ; x2 ; … ; xn avec les probabilités p1 ; p2 ; … ; pn, alors la variable aléatoire aX+b prend les valeurs aX1+b1 ; aX2+b2 ; … ; aXn+bn avec les probabilités p1 ; p2 ; … ; pn ; d’où :
E(aX+b)= (aX1+b1)p1+(aX2+b2)p2+…+(aXn+bn)pn = ax1p1+ax2p2+…+aXnpn+bp1+bp2+…+bpn = a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)
Puisque x1p1+x2p2+…+xnpn=E(X) et p1+p2+…+pn=1, On en déduit que E(aX+b)=aE(X)+b

V(aX)= E((aX-E(aX)2) et aX-E(aX)=aX-aE(X)=a(X-E(X)) ; d’où :
V(aX)= E(a2(XE(X)))=a2E(X-E(X))2=a2V(X)

Modélisation d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre pondéré :
Les différentes issues de l’expérience sont représentées aux extrémités des branches d’un arbre ; la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant à cette issue.

A P

q A

L’expérience à deux issues A et A. p+q=1. Expériences indépendantes :
On dit