Martin

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Martingales ` temps discret a

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4. Martingales ` temps discret a 4.1. G´n´ralit´s. On fixe un espace de probabilit´s filtr´ (Ω, (Fn )n , F, I ). On suppose que F e e e e e P contient ses ensembles n´gligeables mais les tribus Fn ne sont pas n´cessairement suppos´es compl`tes e e e e . On sait que la famille d’ensembles n≥0 Fn n’est pas une tribu. On d´finit donc F∞ = σ( n≥0 Fn ). e F∞ est unetribu, en g´n´ral plus petite que F, laquelle jouera un rˆle important dans la suite. e e o ´ Definition 4.1. Un processus r´el adapt´ (Xn )n≥0 est appel´ une martingale (resp. une surmartine e e gale, une sous-martingale) s’il est int´grable et si, pour tout n ∈ N), e I E(Xn+1 | Fn ) = Xn p.s. (resp. ≤, ≥).

Donc (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si etseulement si pour tout A ∈ Fn on a Xn+1 dI = P
A A

Xn dI (resp. ≤, ≥) P

Notons que (Xn )n≥0 est une surmartingale si et seulement si (−Xn )n≥0 est une sous-martingale (et r´ciproquement) et que (Xn )n≥0 est une martingale si et seulement si (Xn )n≥0 est ` la fois une surmare a tingale et une sous-martingale. Les d´finitions ci-dessus sont encore valables si on remplace “Xn int´grable” par“Xn positif”. On e e parlera alors de martingale (resp. surmartingale, sous-martingale) positive. Il reste entendu qu’une martingale (resp. surmartingale, sous-martingale) sans adjectif est n´cessairement int´grable. e e Exemple 4.2. Soit X ∈ L1 ou ≥ 0. Xn = I E(X | Fn ) est une martingale. Enfin un processus X = (Ω, F, (Xn )n≥0 , I ) sera dit une martingale (resp. une surmartingale, une Psous-martingale) si c’est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) par rapport 0 a ` la filtration Fn = σ(X0 , ..., Xn ).

Il est clair que le processus (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si et seulement si I E(Xn+1 − Xn | Fn ) = 0, (resp. ≤, ≥). Donc si (Yn )n≥0 est un processus adapt´)(int´grable ou positif), alors Xn = Y0 + Y1 + ... + Yn d´finitune martingale (resp. une e e e surmartingale, une sous-martingale) si et seulement si I E(Yn+1 | Fn ) = 0, (resp. ≤ 0, ≥ 0). En particulier si (Yn )n≥0 est une suite de v.a. ind´pendantes int´grables ou positives et si on pose S0 = 0, e e Sn = Y0 + Y1 + ... + Yn pour n ≥ 1, alors (Sn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) pour la filtration σ(Y0 , Y1 , ..., Yn ) si,pour tout n ≥ 1, I E(Yn ) = 0, (resp. ≤ 0, ≥ 0). 4.2. Premi`res propri´t´s. e e e Proposition 4.3. (i) Si (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale), la suite (I E(Xn ))n≥0 est constante (resp. d´croissante, croissante). e (ii) Si (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale), on a, pour m < n, I E(Xn | Fm ) = Xm p.s. (resp. ≤, ≥).(iii) Si (Xn )n≥0 et (Yn )n≥0 sont des surmartingales, il en est de mˆme de Xn + Yn et de Xn ∧ Yn . e (iv) Si (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale) et f est une fonction concave (resp. concave croissante) telle que f (Xn ) est int´grable ou positive pour tout n ≥ 0, alors Yn = f (Xn ) est e 2 une surmartingale En particulier si (Xn )n≥0 est une martingale, |Xn | et Xn sont dessous-martingales. (v) Si (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale), il en est de mˆme e du processus stopp´ Xn = Xn∧ν , o` ν est un temps d’arrˆt de la filtration {Fn }n . e ν u e

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Preuve: (i), (ii) et (iii) r´sultent directement des propri´t´s de l’esp´rance conditionnelle. (iv) r´sulte e ee e e de l’in´galit´ de Jensen. Pour (v),on note que d’apr`s la d´finition d’un temps d’arrˆt, on a {ν ≥ e e e e e n + 1} = {ν ≤ n}c ∈ Fn et donc
ν ν I E(Xn+1 − Xn | Fn ) = I E((Xn+1 − Xn )1{ν≥n+1} | Fn ) = = 1{ν≥n+1} I E(Xn+1 − Xn | Fn ).

(4.1)

Introduisons une notion importante. ´ Definition 4.4. On dit qu’un processus adapt´ (An )n≥0 est un processus croissant pr´visible si A0 = 0, e e An ≤ An+1 et si An+1 est Fn mesurable....
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