Martingales ` temps discret a

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4. Martingales ` temps discret a 4.1. G´n´ralit´s. On fixe un espace de probabilit´s filtr´ (Ω, (Fn )n , F, I ). On suppose que F e e e e e P contient ses ensembles n´gligeables mais les tribus Fn ne sont pas n´cessairement suppos´es compl`tes e e e e . On sait que la famille d’ensembles n≥0 Fn n’est pas une tribu. On d´finit donc F∞ = σ( n≥0 Fn ). e F∞ est une tribu, en g´n´ral plus petite que F, laquelle jouera un rˆle important dans la suite. e e o ´ Definition 4.1. Un processus r´el adapt´ (Xn )n≥0 est appel´ une martingale (resp. une surmartine e e gale, une sous-martingale) s’il est int´grable et si, pour tout n ∈ N), e I E(Xn+1 | Fn ) = Xn p.s. (resp. ≤, ≥).

Donc (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si et seulement si pour tout A ∈ Fn on a Xn+1 dI = P
A A

Xn dI (resp. ≤, ≥) P

Notons que (Xn )n≥0 est une surmartingale si et seulement si (−Xn )n≥0 est une sous-martingale (et r´ciproquement) et que (Xn )n≥0 est une martingale si et seulement si (Xn )n≥0 est ` la fois une surmare a tingale et une sous-martingale. Les d´finitions ci-dessus sont encore valables si on remplace “Xn int´grable” par “Xn positif”. On e e parlera alors de martingale (resp. surmartingale, sous-martingale) positive. Il reste entendu qu’une martingale (resp. surmartingale, sous-martingale) sans adjectif est n´cessairement int´grable. e e Exemple 4.2. Soit X ∈ L1 ou ≥ 0. Xn = I E(X | Fn ) est une martingale. Enfin un processus X = (Ω, F, (Xn )n≥0 , I ) sera dit une martingale (resp. une surmartingale, une P sous-martingale) si c’est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) par rapport 0 a ` la filtration Fn = σ(X0 , ..., Xn ).

Il est clair que le processus (Xn )n≥0 est une martingale (resp. une surmartingale, une sous-martingale) si et seulement si I E(Xn+1 − Xn | Fn ) = 0, (resp. ≤, ≥). Donc si (Yn )n≥0 est un processus adapt´)(int´grable ou positif), alors Xn = Y0 + Y1 + ... + Yn