Mathematiques

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Limites : Résumé de cours et méthodes 1
DÉFINITION

Limite d’une fonction en +∞ et en −∞

1-1 Limite infinie en +∞ et en −∞
Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant +∞ comme borne supérieure.On dit que f a pour limite +∞ en +∞ (ou que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi grand que l’on veut. On écritalors que lim f (x) = +∞.
x→+∞

¼

Remarque : on définit de la même façon,

¼

¼

¼

x→+∞

lim f (x) = −∞

x→−∞

lim f (x) = +∞

x→−∞

lim f (x) = −∞

PROPRIÉTÉ

x→+∞ x→−∞

lim x = +∞

x→+∞ x→−∞

lim x2 = +∞

x→+∞ x→−∞

lim x3 = +∞

x→+∞

lim

√ x = +∞

lim x = −∞

lim x2 = +∞

lim x3 = −∞

1-2 Limite finie en +∞ et en −∞
DÉFINITION

On ditqu’une fonction f a pour limite le réel l en +∞ (ou que f (x) tend vers l quand x tend vers +∞) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi proche de l que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = l.
x→+∞

Ý Ð
¼

On dit alors que la droite D d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en +∞.
1ES - Limites
c P.Brachet - www.xm1math.net

1 Remarque : on définit de la même façon lim f (x) = l.
x→−∞

Ý Ð
¼

La droite D d’équation y = l est dite asymptote horizontale à la courbe C f en −∞.
PROPRIÉTÉ

lim 1 x→+∞ x lim 1 x→−∞ x

=0 =0

lim 12 x→+∞ x lim 12 x→−∞ x

=0 =0

lim 13 x→+∞ x lim 13 x→−∞ x

=0 =0

x→+∞

lim

1 √ x

=0

2 Limite d’une fonction en a (a réel)
2-1 Limite infinie en a
DÉFINITION

Soit f unefonction définie sur un intervalle de la forme ]a , b[. On dit que f a pour limite +∞ en a (par valeurs supérieures) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez proche de a (x > a) pour que f (x) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = +∞. x→a
x>a

Ü
¼

Remarque : on définit de la même façon,

¼

Ü

¼

Ü

Ü
¼

lim f (x) = −∞ x→a
x>a

lim f (x) = +∞ x→a
x0x→0 x0 x→0 x0

lim 1 = −∞ x
x→0 x0

→ 0=0

√ 1 x + = +∞ x √
→+∞

3-2 Limite d’une produit
Si f a pour limite l l=0 l=0 +∞ +∞ −∞ 0 et si g a pour limite l +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞ alors f g a pour limite ll (signe de l)∞ (signe de −l)∞ +∞ −∞ +∞ FI

1ES - Limites

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3

Exemples : • lim
x→+∞

x ×
→+∞

√ x = +∞
→+∞

• lim −2 x2 = −∞
x→+∞ →+∞

•lim

x→+∞

√ 1 − 2 × x = −∞ x
→+∞ →−2

(car lim

1 x→+∞ x

=0)

3-3 Limite de l’inverse
Si f a pour limite l=0 ±∞ 0 (par valeurs +) 0 (par valeurs −) alors 1 a pour limite f 1 l 0 +∞ −∞

Remarque : Quand le dénominateur tend vers 0, il faut déterminer et justifier s’il le fait par valeurs positives ou négatives (on peut s’aider d’un tableau de signes). Exemples : • lim 1 = 0 , car lim3x + 2 = +∞ x→+∞ 3x + 2 1 • lim = −∞ , car lim x − 2 = 0− (x − 2 < 0 ,pour x < 2) x→2 x − 2 x→2 x 0 ,pour x > 2)
x→2 x>2

3-4 Limite d’un quotient
Pour étudier la limite de de f . g Exemples : 1 x+1 • lim √ = lim (x + 1) × √ x→0 x→0 x x x>0 x>0
→1 →+∞

f 1 1 f , on écrit que = f × . On détermine alors la limite de f et de , ce qui permet d’en déduire la limite g g g g

= +∞

x2 + 3 1 •lim = lim (x2 + 3) × x→−1 x + 1 x→−1 x+1 x>−1 x>−1
→(−1)2 +3=4 +∞

= +∞

(car lim x + 1 = 0+ )
x→−1 x>−1

2x3 • lim = lim (2x3 ) × x→−∞ 1 + 1 x→−∞ x
→−∞

1 1+ 1 x
→1

= −∞

(car lim 1 +
x→−∞

1 = 1) x
→0

4 Cas des fonctions polynomes et rationnelles en +∞ et en −∞
On utilise la propriété suivante (uniquement valable en +∞ et en −∞) :
PROPRIÉTÉ

• En +∞ et en −∞, unefonction polynome a la même limite que son terme de plus haut degré. • En +∞ et en −∞, une fonction rationnelle (c’est à dire, un quotient de deux polynomes) a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exemples : • lim 3x2 − x + 4 = lim 3x2 = +∞
x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞

(3x2 est le terme de plus haut degré de ce polynome) (2x3 est le terme de...
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