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Chap 11

Relations d’ordre, r´els e
1
1.1

Relation d’ordre
D´finition g´n´rale e e e
ee Remarque. On admet la notion intuitive de relation (binaire) entre 2 ´l´ments d’un ensemble E. D´finition. Soit ¤ une relation sur E. On dit que ¤ est une relation d’ordre si et seulement si : e (a) (b) (c)

dpx, yq € E 2, px ¤ y et y ¤ xq ùñ x  y 3 ¤ est transitive i.e. dpx, y, z q € E , px ¤ y et y¤ z q ùñ x ¤ z
¤

¤

est r´flexive i.e. dx € E, x ¤ x e est antisym´trique i.e. e

D´finition. Soit une relation d’ordre ¤ sur un ensemble E. On dit que deux ´l´ments x et y de E sont e ee comparables si et seulement si x ¤ y ou y ¤ x. Lorsque tous les couples d’´l´ments de E sont comparables, ee on dit que l’ordre est total. On dit qu’il est partiel sinon. Exemple. Montrer que les relationssuivantes sont d’ordre. L’ordre est-il total ou partiel ? (b) Dans PpE q, la relation d’inclusion ; (c) Dans (a) Dans R, la relation « inf´rieur ou ´gal » usuelle ; e e

R2 , l’ordre produit d´fini par : e

px, yq ¤ pxI, yIq ðñ x ¤ xI et y ¤ yI
(d) Dans

R2 , l’ordre lexicographique d´fini par : e

px, yq ¤ pxI, yIq ðñ x   xI ou
Attention.

 

x  xI et y

¤ yI

¨

1.2

´eEl´ments remarquables
D´finition. Soit ¤ une relation d’ordre sur un ensemble E et A une partie de E. On d´finit : e e • M € E est un majorant de A si et ssi :

dx € A, x ¤ M
• α est un plus grand ´l´ment de A si et ssi : ee
5

α€A dx € A, x ¤ α

On donne des d´finitions analogues pour un minorant et un plus petit ´l´ment. e ee Th´or`me. e e Avec les notations pr´c´dentes, un plus grand ´l´mentde A, s’il existe, est unique. On le note max A. e e ee

D´finition. On conserve les notations pr´c´dentes. e e e Si l’ensemble des majorants de A dans E admet un plus petit ´l´ment, celui-ci s’appelle la borne sup´rieure ee e de A dans E, not´ suppAq. e Remarque. Propri´t´. Si α  max A, alors α  sup A. e e La r´ciproque est fausse. e
2010-2011 http://mpsi1.lamartin.fr

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Chap 11 –Relations d’ordre, r´els e

2
2.1
2.1.1

Les nombres r´els e
Propri´t´s ´l´mentaires des nombres r´els e e ee e
Corps des nombres r´els e Propri´t´. R est muni de la loi de composition interne   satisfaisant : e e • Associativit´ : dx, y, z, px   y q   z  x   py   z q e • 0 est ´l´ment neutre : dx, x   0  0   x  x ee • Tout r´el a un oppos´ : dx, hy p ¡xq t.q. x   y  y   x  0 e e •Commutativit´ : dx, y, x   y  y   x e On dit que pR,  q est un groupe commutatif. Propri´t´. R est aussi muni de la loi de composition interne ¢ aussi not´e ¤ ou [absence de signe] satisfaisant : e e e • Associativit´ : dx, y, z, px ¢ y q ¢ z  x ¢ py ¢ z q e • 1 est ´l´ment neutre : dx, x ¢ 1  1 ¢ x  x ee   1¨ • Tout r´el non nul a un inverse : dx $ 0, hy  x t.q. x ¢ y  y ¢ x  1 e •Commutativit´ : dx, y, x ¢ y  y ¢ x e • Distributivit´ de ¢ sur   : dx, y, z, x ¢ py   z q  px ¢ y q   px ¢ z q e On dit que pR,  , ¢q est un corps commutatif.

2.1.2

Cons´quence. On peut montrer que toutes les r`gles de calcul usuelles sont vraies. Ainsi par exemple : e e

¤ avec les op´rations   et ¤ e Propri´t´. dpx, y, z q € R3 , px ¤ y ðñ x   z ¤ y   z q e e Propri´t´. dpx, y q € R2 , dz € R¦ ,px ¤ y ðñ xz ¤ yz q e e  
Compatibilit´ de e

dpx, yq € R¦ ,  

¡

x¤y

1 1 ðñ y ¤ x

©

.

2.1.3

Valeur absolue d’un r´el e e e D´finition. On appelle valeur absolue de x € R le r´el |x| d´fini par : e x |x|  ¡x Propri´t´. e e (a) (b) (c) (d) (e) (f)
4

si x ¥ 0 si x ¤ 0

dx € R, |x|  maxtx, ¡xu ; dx € R, |x| ¥ 0 ; dx € R, |x|  0 ðñ x  0 ; dpx, yq € R2, |xy|  |x||y| ;§1§ 1 d x € R ¦ , § x §  | x| ; 4 max x,  1 x     x ¡ |q 2, dpx, yq € R minppx, yyqq  12ppx   yy ¡ ||x ¡ yy|q 2
§

.

Th´or`me (In´galit´s triangulaires). e e e e

dpx, yq € R2, §§|x| ¡ |y|§§ ¤ |x   y| ¤ |x|   |y|
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§

Chap 11 – Relations d’ordre, r´els e 2.1.4 Distance usuelle dans

R

D´finition. On appelle distance usuelle sur e

R...
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