Chap 11

Relations d’ordre, r´els e
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1.1

Relation d’ordre
D´finition g´n´rale e e e ee Remarque. On admet la notion intuitive de relation (binaire) entre 2 ´l´ments d’un ensemble E. D´finition. Soit ¤ une relation sur E. On dit que ¤ est une relation d’ordre si et seulement si : e (a) (b) (c)

dpx, yq € E 2, px ¤ y et y ¤ xq ùñ x  y 3 ¤ est transitive i.e. dpx, y, z q € E , px ¤ y et y ¤ z q ùñ x ¤ z
¤

¤

est r´flexive i.e. dx € E, x ¤ x e est antisym´trique i.e. e

D´finition. Soit une relation d’ordre ¤ sur un ensemble E. On dit que deux ´l´ments x et y de E sont e ee comparables si et seulement si x ¤ y ou y ¤ x. Lorsque tous les couples d’´l´ments de E sont comparables, ee on dit que l’ordre est total. On dit qu’il est partiel sinon. Exemple. Montrer que les relations suivantes sont d’ordre. L’ordre est-il total ou partiel ? (b) Dans PpE q, la relation d’inclusion ; (c) Dans (a) Dans R, la relation « inf´rieur ou ´gal » usuelle ; e e

R2 , l’ordre produit d´fini par : e

px, yq ¤ pxI, yIq ðñ x ¤ xI et y ¤ yI
(d) Dans

R2 , l’ordre lexicographique d´fini par : e

px, yq ¤ pxI, yIq ðñ x xI ou
Attention.

x  xI et y

¤ yI

¨

1.2

´e El´ments remarquables
D´finition. Soit ¤ une relation d’ordre sur un ensemble E et A une partie de E. On d´finit : e e • M € E est un majorant de A si et ssi :

dx € A, x ¤ M
• α est un plus grand ´l´ment de A si et ssi : ee
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α€A dx € A, x ¤ α

On donne des d´finitions analogues pour un minorant et un plus petit ´l´ment. e ee Th´or`me. e e Avec les notations pr´c´dentes, un plus grand ´l´ment de A, s’il existe, est unique. On le note max A. e e ee

D´finition. On conserve les notations pr´c´dentes. e e e Si l’ensemble des majorants de A dans E admet un plus petit ´l´ment, celui-ci s’appelle la borne sup´rieure ee e de A dans E, not´ suppAq. e Remarque. Propri´t´. Si α  max A, alors α  sup A. e e La r´ciproque est fausse. e
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