´ Exercices - Integration - Niveau 1 : ´nonc´ e e ´ ´ ` Proprietes relatives a la construction
Exercice 1 - Relation de Chasles - Math Sup 1. Soient m, n ∈ Z2 avec n ≥ m. Calculer 2. Calculer
2 −1 x|x|dx. b a f (x)dx n m E(x)dx,

o` E(x) d´signe la partie enti`re de x. u e e

Exercice 2 - Retrouver la fonction - Math Sup Soit f : [a, b] → R continue telle que |f (x)| ≤ 1 pour tout x ∈ [a, b] et Que dire de f ? = b − a.

Exercice 3 - Egalit´ des valeurs absolues - L2/Math Sup e
Soit f : [a, b] → R une fonction continue telle que b b

f (t)dt = a a

|f (t)|dt.

Montrer que f garde un signe constant sur [a, b].

Exercice 4 - Changement de signes - L2/Math Sup Soit f : [a, b] → R, a < b, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu’il b existe un entier n tel que, pour tout k ≤ n, on a a tk f (t)dt = 0. On souhaite prouver que, dans l’intervalle [a, b], il existe au moins n + 1 points o` f s’annule en changeant de signe. u 1. Traiter le cas n = 0. 2. Traiter le cas n = 1. 3. Traiter le cas g´n´ral. e e

Exercice 5 - Lemme de Riemann-Lebesgue - L2/Math Sup Soit ϕ une fonction en escalier sur [a, b]. On pose b un = a ϕ(x) sin(nx)dx.

Montrer que limn→+∞ un = 0. Montrer que cette propri´t´ est conserv´e si ϕ est continue par ee e morceaux sur [a, b].

Exercice 6 - Approximation d’une valeur absolue - L2/Math Sp´ e
Soit f : [a, b] → R et soit ε > 0. 1. On suppose que f est en escalier. Montrer qu’il existe g : [a, b] → R continue telle que b b a f g ≥ a |f | − ε et |g| ≤ 1. 2. Reprendre la mˆme question si f est continue. e

´ Integration par parties et changement de variables
Exercice 7 - Fonction avec un axe de sym´trie - L1/Math Sup e
Soit f : [a, b] → R continue telle que, pour tout x ∈ [a, b], on a f (a + b − x) = f (x). Montrer que b xf (x) = a a+b 2

b

f (x)dx. a http://www.bibmath.net

1

´ Exercices - Integration - Niveau 1 : ´nonc´ e e
En d´duire la valeur de I = e π x sin x 0 1+cos2 x