Fonctions continues
Exercice 1. Fonction p´riodique e Soit f : R −→ R et T > 0. On suppose que f est T -p´riodique cad : ∀ x ∈ R, f (x + T ) = f (x). e 1) Si f poss`de une limite en +∞, montrer que f est constante. e 2) Si f est continue non constante, montrer que f a une plus petite p´riode. e 3) Si f est continue, montrer que f est born´e et atteint ses bornes. e Exercice 2. Fonction ayant des limites ` l’infini a Soit f : [0, +∞[ −→ R une fonction continue ayant une limite finie en +∞. 1) Montrer que f est born´e. e 2) Montrer que f admet un maximum ou un minimum absolu, mais pas n´c´ssairement les deux. e e 3) Montrer que f est uniform´ment continue. e Exercice 3. Permutation de d´cimales e ∞ xk le d´veloppement d´cimal propre de x. Pour x ∈ [0, 1[, on note x = e e k k=1 10 ∞ xk+1 1) Soit f : [0, 1[ −→ [0, 1[ d´finie par : f (x) = e k . Montrer que f est continue par morceaux. k=1 10 ∞ x2k + x2k−1 . D´terminer les points o` g est continue. e u 2) Soit g : [0, 1[ −→ [0, 1[ d´finie par : g(x) = e 102k−1 102k k=1 Exercice 4. f (x + 1) − f (x) −→ a Soit f : R −→ R continue telle que f (x + 1) − f (x) − − − a ∈ R. − −→ x→+∞ f (n) 1) Montrer que n − − → a. −− n→∞ f (x) 2) Montrer que x − − → a. −− x→∞ Exercice 5. max(f, g) Soient f, g : R −→ R deux fonctions continues. On pose pour x ∈ R : h(x) = max f (x), g(x) . Montrer que h est continue. Exercice 6. Prolongement d’in´galit´s e e 1) Soient f, g : R −→ R continues telles que : ∀ x, y ∈ Q, f (x) < g(x). a) Montrer que f g. b) Montrer qu’on n’a pas n´c´ssairement : ∀ x, y ∈ R, f (x) < g(x). e e 2) Soit f : R −→ R continue dont la restriction ` Q est strictement croissante. Montrer que f est strictement a croissante. ´ Exercice 7. Etude de sup(f ([x, x + 1])) Soit f : R −→ R uniform´ment continue. On pose g(x) = sup f ([x, x + 1]) . Montrer que g est continue. e Mˆme question en supposant seulement f continue. e Exercice 8. Weierstrass Soient f, g : [a, b] −→ R continues. On pose h(t) = sup{f (x) + tg(x) tq x ∈ [a,