Optimisation

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CHAPITRE 1

Formulation d’un programme linéaire (PL)

I. Introduction

L’importance de l’optimisation et la nécessité d’un outil simple pour modéliser des problèmes de décision que soit économique, militaire ou autres on fait de la programmation linéaire un des champs de recherche les plus actifs au milieu du siècle précédent. Les premiers travaux[1] (1947) sont celle de George B. Dantziget ses associés du département des forces de l’air des Etats Unis d’Amérique.

Les problèmes de programmations linéaires sont généralement liés à des problèmes d’allocations de ressources limitées, de la meilleure façon possible, afin de maximiser un profit ou de minimiser un coût. Le terme meilleur fait référence à la possibilité d’avoir un ensemble de décisions possibles qui réalisent la mêmesatisfaction ou le même profit. Ces décisions sont en général le résultat d’un problème mathématique.

II. Les conditions de formulation d’un PL

La programmation linéaire comme étant un modèle admet des hypothèses (des conditions) que le décideur doit valider avant de pouvoir les utiliser pour modéliser son problème. Ces hypothèses sont[2]  :
1. Les variables de décision du problème sontpositives
2. Le critère de sélection de la meilleure décision est décrit par une fonction linéaire de ces variables, c’est à dire, que la fonction ne peut pas contenir par exemple un produit croisé de deux de ces variables. La fonction qui représente le critère de sélection est dite fonction objectif (ou fonction économique).
3. Les restrictions relatives aux variables de décision (exemple:limitations des ressources) peuvent être exprimées par un ensemble d’équations linéaires. Ces équations forment l’ensemble des contraintes.
4. Les paramètres du problème en dehors des variables de décisions ont une valeur connue avec certitude

III. Les étapes de formulation d’un PL :

Généralement il y a trois étapes à suivre pour pouvoir construire le modèle d'un programme linéaire :
1.Identifier les variables du problème à valeur non connues (variable de décision) et les représenter sous forme symbolique (exp. x1, y1 ).
2. Identifier les restrictions (les contraintes) du problème et les exprimer par un système d’équations linéaires.
3. Identifier l’objectif ou le critère de sélection et le représenter sous une forme linéaire en fonction des variables de décision. Spécifier si lecritère de sélection est à maximiser ou à minimiser.

IV. Présentation Théorique

Un programme linéaire consiste à trouver le maximum ou le minimum d’une forme linéaire dite fonction objectif en satisfaisant certaines équations et inégalités dites contraintes. En langage mathématique, on décrira de tels modèles de la manière suivante :

Soient N variables de décision x1, x2,…, xn, l’hypothèse queles variables de décision sont positives implique que[pic]

La fonction objectif est une forme linéaire en fonction des variables de décision de type
[pic]
où les coefficients c1,…,cN doivent avoir une valeur bien déterminée (avec certitude) et peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Par exemple le coefficient ci peut représenter un profit unitaire lié à la production d’une unitésupplémentaire du bien xi, ainsi la valeur de z est le profit total lié à la production des différents biens en quantités égales à [pic]

Supposons que ces variables de décision doivent vérifier un système d’équations linéaires définis par M inégalités
[pic]

où les coefficients a1M,…, aMN et b1,…, bM doivent avoir une valeur bien déterminée (avec certitude) et peuvent être positifs, négatifs ou nuls.Le paramètre bj représente la quantité de matière première disponible dont le bien xi utilise une quantité égale à aij xi .

En suivant les étapes de formulation ci-dessus, on peut représenter le PL comme suit :
[pic]

V. Exemples de formulations

Limité au départ aux problèmes industriels et militaires, de nos jours plusieurs problèmes de divers domaines sont représentés ou approximés...
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