Chapitre 9

´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES

1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e

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2 2 2 4 7

2 Orthogonalit´ dans un espace pr´hilbertien e e 10 2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Bases orthonormales dans un espace euclidien ou hermitien . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Suppl´mentaire orthogonal e 14 3.1 Th´or`me fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e e 3.2 Premi`res applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 e 4 Projections et sym´tries orthogonales e 4.1 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie 4.2 Sym´trie orthogonale par rapport ` un sous-espace de dimension finie e a 4.3 Distance ` un sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . a 4.4 Proc´d´ d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 17 18

2 – Espaces pr´hilbertiens r´els et complexes e e

Ann´e 2010/2011 e

1. Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien Dans toute cette section, E d´signe un R-espace vectoriel. e ´ Definition 1.1 On appelle forme bilin´aire sur E × E toute application ϕ : E × E −→ R telle e que : • pour tout x ∈ E, l’application ϕ(x, ·) est lin´aire : e ∀(y, y ) ∈ E2 , ∀(x, x ) ∈ E2 , ∀λ ∈ R, ϕ(x, y + λy ) =