Table des matières
1 Rappel sur la théorie des probabilités 1
1.1 Théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Mesures et mesurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Inégalités …afficher plus de contenu…

Un vecteur aléatoire Z de R2 sera décrit dans la suite par son abscisse X et son ordonnée Y i.e. Z = (X, Y ).
Définition 2.1.16 On appelle couple aléatoire ou vecteur aléatoire de di- mension deux toute paire Z = (X, Y ) de variables aléatoires réelles. On a donc :
Z : (Ω,A, P )→ R2, ω → Z(ω) = (X(ω), Y (ω))
On introduit la tribu borélienne de R2, B(R2), qui est la plus petite tribu sur
R2 contenant tous les pavés I × J où I et J sont deux intervalles de R.
Définition 2.1.17 Soit Z : Ω → R2 un couple aléatoire. L’application PZ définie par
PZ(C) = P (Z−1(C))
17Z−1(C) = {ω ∈ Ω |Z(ω) ∈ C avec C = A×B}
Z−1(C) = X−1(A) ∩ Y −1(B) est une mesure de probabilité appelée loi de …afficher plus de contenu…

Ce qui veut dire que la proportion de points tombant dans [a, b] converge vers b− a.
De même,
1X1≤1/2 + · · ·+ 1Xn≤1/2 n p.s.−→ n→+∞ 1
2
.
4.3 Théorème central-limite
Théorème 4.3.14 (Paul Lévy)[
Xn
loi−→ n→+∞ X
]
⇔
[
∀ξ ∈ Rd, ΦXn(ξ) −→ n→+∞ ΦX(ξ)
]
Avec ΦX est la fonction caractéristique de X.
Théorème 4.3.15 Théorème central-limite (TCL)
Soit (Xn) une suite de v.a.r. i.i.d. avec E(X1) = m et var(X1) = σ2 (m,σ2 <
∞). Alors
X1 + · · ·+Xn − nm σ √ n loi−→ n→+∞ Z de loi N (0, 1) ,
Remarque 4.3.12 Sous les hypothèses du théorème précédent, soit a < b, f(x) = 1[a,b](x).
E
( f (
X1 + · · ·+Xn − nm σ √ n ))
−→
n→+∞
E(f(Z)) , ou encore
P
( a ≤ X1 + · · ·+Xn − nm