Projet c2i

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CONIQUES / QUADRATIQUES
.Coniques (partie théorique).
{text:list-item}
Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.
{draw:frame} {draw:frame}
Intersection d'un plan et d'un cône de révolution.
Selon les positions relatives du plan et du cône, on obtient différents types de coniques :les coniques propres, quand le plan n'est pas perpendiculaire à l'axe du cône, et ne passe pas par son sommet. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône :
les coniques partiellement dégénérées :
et les coniques totalement dégénérées, quand le plan contient le sommet du cône :
La parabole estl'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrice du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquitée et ont reçu des applications techniques variées.
{text:list-item} La définition monofocale des coniques est encore appelée définition par foyer et directrice de ces coniques.Définition:
{draw:frame}
Quatre coniques ayant même foyer et même directrice
Dans un plan (p), on considère une droite (d) et un point F non situé sur (d). Soit e un réel strictement positif.
On appelle conique de droite directrice (d), de foyer F et d'_excentricité_ e l'ensemble des points M du plan (p) vérifiant :
{draw:frame}

d(_M_,_F_) mesure la distance du pointM au point F
et
d(_M_,(_d_)) mesure la distance du point M à la droite (d)
On notera que les ellipses sont des courbes fermées et bornées, que les paraboles sont ouvertes et infinies, et que les hyperboles possèdent deux branches symétriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes.
{text:list-item} Soit O la projection orthogonale du point F sur ladroite (d). Dans le plan (p) on définit alors le repère orthogonal (_O_, (OF), (d)).
Soit p la distance de O à F (_p_ s'appelle le paramètre). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (_p_,0).
Pour un point M de coordonnées (_x_,_y_) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :
{draw:frame}
{draw:frame}
ce qui implique en élevant [1]au carré et en utilisant [2] et [3] :
{draw:frame}
soit après simplification :
{draw:frame}
{draw:frame}
types de conique
En fonction des valeurs de e on obtient plusieurs types de courbes :
Si 0 < e < 1 une ellipse
Si e = 1 une parabole
Si e > 1 une hyperbole
Les coniques dégénérées s'obtiennent en modifiant les conditions précédentes
Si F est surD, on obtient :
Si e < 1 le point O (qui est aussi le point F);
Si e = 1 la droite perpendiculaire à (d) passant par F;
Si e > 1 deux droites sécantes ;
Si e = 0, le point O (qui est aussi le point F).
Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice.
En revanche, si pe = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini la distance entre le foyer et ladirectrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r.
{text:list-item} Cas affine
En géométrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les coordonnées cartésiennes x et y des points sont solution d'une équation polynômiale du second degré, de la forme :
{draw:frame}
avec l'un aumoins des trois coefficients A, B ou C non nul pour que l'équation soit effectivement du second degré ( condition (1) ).
Théorème:Soit la courbe (C) d'équation ax²+2bxy+cy²+dx+ey+f=0 , (a,b,c) {draw:frame} (0,0,0)
Si b²-ac =0 ,(C) est une parabole ou l'union de 2 droites parallèles ou l'ensemble vide.
Si b²-ac0, (C) est une hyperbole ou l'union de 2droites sécantes ou une droite
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