La loi de Pascal, ou loi binomiale négative, est une loi de probabilité discrète qui trouve à s’appliquer dans un schéma de Bernouilli. On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter k fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire comportant deux issues, le succès ou l’échec, et où p représente la probabilité de succès.
La loi binomiale négative exprime la probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre d’épreuves n nécessaires à l’obtention de k succès, avec une probabilité de succès égale à p et une probabilité d’échec égale à q = 1-p.

Pour faciliter l’explication de cette loi, prenons un exemple simple. A pile ou face, nous décidons d’obtenir exactement k fois pile et d’arrêter uniquement une fois que ce nombre sera atteint. Le nombre X de lancer nécessaire est une variable aléatoire et cette variable suit une distribution binomiale négative. La loi de Pascal exprime la probabilité P(X=n) d’obtenir k fois pile après n lancer. Il ne faut pas confondre cette loi avec une loi binomiale. Dans notre exemple, le nombre de pile (succès) au cours de n lancer suit une loi binomiale alors que le nombre d’essais nécessaire à la réalisation de k pile suit une loi binomiale inversé.

L’espérance associée à une loi binomiale négative est : E(X) = n/p

La variance associée à une loi binomiale négative est : V(X)= k*(p/q)

Prenons un exemple concret par le biais d’un exercice. Une finale de hockey oppose deux équipes A et B. L’équipe A, plus forte que B à 60% de chance de remporter chacune des parties de la série. On assumera l’indépendance des résultats entre chacune des parties. Trouvons la probabilité que B remporte la série en 6 parties.

P(X=6) = = 9,22%

La probabilité que l’équipe B remporte

La densité de la loi binomiale inversée est :

Dans le cas de la loi binomiale