Nombres complexes

4ème année
Maths

Année scolaire 09 - 10
A. LAATAOUI

Sessions antérieures

Exercice N°1 (SP.2001) © r r
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé O; u; v on considère les points A et B

(

)

d’affixes respectives a et 1 où a est un nombre complexe donné différent de 1.
Soit f l’application de P \ {B} dans P qui’ à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle z-a que : z ' =
.
z-1
1. Montrer que les affixes des points invariants par f sont les solutions de l’équation E : z 2 - 2 z + a = 0 . p 3p
2. a) On suppose que a=1+e 2iq où q Î ù , é . Résoudre l’équation E. ú2 2 ê û ë
b) Mettre sous forme trigonométrique chacune des solutions de E.
3. Dans cette question on suppose que a = - 1.
Soit M un point de P \ {B} d’affixe z et M’ le point z’ = f(z).
L
L r uuu r r uuur
a) Montrer que ( u , BM )+ ( u , BM ') º 0 ( 2p ) . uuu uuur r En déduire que la demi – droite [BA) est une bissectrice de l’angle BM , BM ' .

(

)

b) Montrer que z’ est imaginaire pur si et seulement si z = 1 .
c) En déduire la construction du point M’image d’un point M du cercle trigonométrique privé du point
B.

Exercice N°2 (SC.2002) © rr Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O, i, j , on considère les points A et B

(

)

d’affixes respectives 1 et –1 et on désigne par P’ le plan P privé du point A.
Soit f l’application de P’ dans P qui à tout point M de P’ d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z ' =

(

).

z z -1 z -1

1. a) Soit C le point d’affixe i. Déterminer le point f (C ) .
b) Soit z le cercle de centre O et de rayon 1. Montrer que pour tout point M de z \ { A} , on a : f ( M ) = B .
2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .
3. Soit M un point quelconque du plan privé de la droite (AB) et du cercle z .
On désigne par M 1 l’image de M par la symétrie orthogonale d’axe (AB) et par M’ l’image de M par
f.
uuuuuu