Cours 9 : programmation linéaire (recherche opérationnelle)
• • • • 1. Exemple introductif 2. La méthode du simplexe 3. Dictionnaires 4. Algorithme

C. JARD Cours ALGO1 MMI+MIT 2007-2008

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1. Introduction : la raffinerie
• Production optimale d’une raffinerie produisant 4 produits finis (essence, kérosène, mazout et résidu) à partir de deux types de pétrole brut (brut1 et brut2), avec les paramètres suivants :
Produit $/baril Essence Kérosène Mazout Résidu Rendement(%) Brut1, Brut2 80, 44 5, 10 10, 36 5, 10 Production maximale (baril/jour) 24000 2000 6000

Achat

Brut1 Brut2 Essence Kérosène Mazout Résidu

24 15 36 24 21 10

Vente

Cout de production ($/baril)

0.5, 1

2

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Le modèle mathématique
• Les variables de décision (l’information recherchée) : p1, p2 : nombre de barils/jour de Brut1 et 2 raffinés x1, …, x4 : nombre de barils/jour obtenus pour chaque produit Les contraintes sur ces variables : 0.80p1+0.44p2=x1 0.05p1+0.10p2=x2 0.10p1+0.36p2=x3 0.05p1+0.10p2=x4 x1 ≤ 24000, x2 ≤ 2000, x3 ≤ 6000, p1,p2 ≥ 0 L’objectif (maximisation sous contraintes du profit = vente - achat coût de production) : max (36x1+24x2+21x3+10x4-24p1-15p2-0.5p1-1p2)

•

•

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Simplification par élimination de variables

• max (8.1p1 + 10.8p2) sous contraintes : 0.80p1 + 0.44p2 ≤ 24000 0.05p1 + 0.10p2 ≤ 2000 0.10p1 + 0.36p2 ≤ 6000 p1,p2 ≥ 0 • Forme standard (on peut toujours s’y ramener) : max ∑j=1,n cjxj sous contraintes ∑j=1,n aijxj ≤ bi (1≤i≤m) xj ≥ 0 (1≤j≤n)
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2

• • •

Une solution (x1,…,xn) est réalisable si elle satisfait à toutes les contraintes Elle est optimale si elle est réalisable et si elle maximise l’objectif (pas nécessairement unique) Il n’existe pas forcément de solution optimale (soit il n’existe pas de solution réalisable, soit il n’existe pas de valeur optimale finie) : max x1-x2 sous contraintes : -2x1 + x2 ≤ -1 -x1 -2x2 ≤ -2 x1, x2 ≥ 0 (il existe des solutions réalisables : 1,1 ; 5,0 mais on peut toujours trouver