CHAPITRE 6

Strat´gies Mixtes e
Un des probl`mes inh´rents au concept d’´quilibre de Nash en e e e strat´gies pures est que pour certains jeux, de tels ´quilibres n’existent e e pas. P.ex. le jeu de ”Pierre, Papier, Ciseaux” : Pi Pa Ci Pi 0, 0 −1, 1 1, −1 P a 1, −1 0, 0 −1, 1 Ci −1, 1 1, −1 0, 0 Pierre, Papier, Ciseaux n’admet pas d’´quilibre de Nash. e La raison pour laquelle on n’a pas d’´quilibres est la suivante : la noe tion d’´quilibre de Nash en strat´gies pures suppose que chaque joueur e e connaˆ les strat´gies des autres joueurs. Or, nous sommes dans des ıt e jeux ou chaque joueur a int´rˆt ` cacher sa strat´gie, ou a bluffer. En ee a e effet, dans les jeux ”pile ou face” ou ”tirer un penalty”, ou ”bluff au poker”, on n’utilise pas toujours la mˆme strat´gie, et on ne connaˆ e e ıt pas non plus ` l’avance celle de l’adversaire. a Pi Fa P i 1, −1 −1, 1 F a −1, 1 1, −1 Pile ou face Les strat´gies mixtes, ou al´atoires, vont permettre de repr´senter e e e ces possibilit´s de bluff, ou de jouer al´atoirement. e e 1. D´finition des concepts e Nous allons d´finir les strat´gies mixtes, puis les jeux dans lesquels e e les joueurs ont la possibilit´ de jouer des strat´gies mixtes, et enfin e e d´finir un ´quilibre de Nash en strat´gies mixtes comme un ´quilibre e e e e de Nash d’un tel jeu. 1.1. Strat´gies mixtes. Nous commen¸ons par d´finir le concept e c e de strat´gies mixtes. Soit donc G = (I, (Si)i, (gi)i) un jeu sous forme e normale ´ Definition 1. Une strat´gie mixte pour le joueur i est une loi e de probabilit´s sur Si. Σi = ∆(Si) repr´sente l’ensemble des strat´gies e e e mixtes du joueur i.
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´ 6. STRATEGIES MIXTES

On utilisera les notations : Σ = ΠiΣi, Σ−i = Πj=iΣj . Par opposition aux strat´gies mixtes, on appelle les ´l´ments de Si e ee strat´gies pures. Ce sont des strat´gies d´terministes. e e e On utilisera selon les cas diff´rentes notations pour une strat´gie e e mixte. (1) Notation fonction. σi est l’application de Si vert R qui associe `