Probabilit´s e Correction partiel P2
Nicolas Baradakis 27 avril 2000

Exercice I
En ´tudiant une population, on a remarqu´ que durant un mois 40% des e e individus sont all´s qu cin´ma, 25% sont all´s au th´ˆtre et 12,5% sont all´s e e e ea e au cin´ma et au th´ˆtre. e ea Calculer la probabilit´ que durant un mois un individu : e 1. aille au cin´ma ou au th´ˆtre e ea Je note les ´v`nements de la mani`re suivante : e e e – C : l’individu va au cin´ma pendant le mois ; e – T : l’individu va au th´ˆtre pendant le mois. ea p (C ∪ T ) = p (C) + p (T ) − p (C ∩ T ) = 0.4 + 0.25 − 0.125 = 0.525 2. n’aille pas au cin´ma e p C = 1 − p (C) = 1 − 0.4 = 0.6 3. n’aille ni au cin´ma ni au th´ˆtre e ea p C ∩T =p C ∪T = 1 − p (C ∪ T ) = 1 − 0.525 = 0.475 4. aille au cin´ma mais pas au th´ˆtre e ea p C ∩ T = p (C) − p (C ∩ T ) = 0.4 − 0.125 = 0.275 5. sachant qu’il est all´ au cin´ma, aille aussi au th´ˆtre e e ea p (T /C) = p(T ∩C) p(C)

=

0.125 0.4

= 0.3125

1

6. sachant qu’il n’est pas all´ au th´ˆtre, n’aille pas au cin´ma e ea e p C/T = p(C∩T ) p(T )

=

p(C∩T ) 1−p(T )

=

0.475 1−0.25

=

19 30

p C/T ≈ 0.633

Exercice II
Dans une entreprise, unemachine produit des pi`ces dont les dimensions tr`s e e pr´cises doivent ˆtre respect´es. e e e Apr`s un premier r´glage, on constate une proportion de 30% de pi`ces e e e d´fectueuses. On examine 5 pi`ces choisies au hasard dans la production. e e Soit X la variable al´atoire : nombre de pi`ces d´fectueuses parmi les 5. e e e 1. Quelle est la loi de probabilit´ de X ? e X suit une loi binomiale de de param`tres N = 5 et p = 0.3. e k On en d´duit que ∀k ∈ [[0, 5]], p(X = k) = C5 0.3k 0.75−k e

2. Calculer E(X) et V (X) On a d´montr´ dans le cours que pour la loi binomiale on avait e e E(X) = N p V (X) = N p (1 − p) On a donc dans cet exercice E(X) = 1.5 V (X) = 1.05 3. Quelle est la probabilit´ que deux des pi`ces soient d´fectueuses ? e e e
2 p(X = 2) = C5 0.32 0.73 = 10 × 0.09 × 0.3453 =