Suites

Définitions. NotationsUne suite numérique est une fonction de ℕ vers ℝ.
Si une suite est représentée par la lettre u, on note un l'image de n, appelée aussi terme d'indice n.
La suite entière est représentée par (un).

Suite des valeurs d'une fonction.Soit f une fonction définie sur [0; +[. On peut définir une suite (un) par un = f (n).
Exemple
Soit f la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par un = f(n).
On a alors :
, , , etc...

Suite définie par récurrenceOn définit une suite par récurrence en indiquant son premier terme et une méthode de calcul d'un terme en fonction du précédent.
Exemple
Soit g la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et un+1 = g(un). On a alors :
, , , etc...
Remarque
On ne peut calculer un terme que si on connaît le précédent, mais de proche en proche on peut calculer tous les termes en partant du premier.

Suites croissantes et décroissantesUne suite (un) est strictement croissante si pour tout entier naturel n on a un < un+1.
Une suite (un) est strictement décroissante si pour tout entier naturel n on a un > un+1.
Une suite (un) est constante si pour tout entier naturel n on a un = un+1.

Pour comparer un+1 et un on peut étudier le signe de leur différence ou, si tous les un sont strictement positifs, comparer leur quotient à 1.

Exemple 1
Soit (un) la suite définie par un = n² + n – 3. un+1 – un = ((n+1)² + (n+1) – 3) – (n² + n – 3) = n² + 2n + 1 + n + 1 – 3 – n² – n + 3 donc un+1 – un = 2n + 2 > 0.
On en déduit que un < un+1, donc que (un) est strictement croissante.

Exemple 2
Soit (un) la suite définie par . Tous les termes de cette suite sont positifs.
. Comme , on en déduit que un+1 < un, la suite (un) est donc strictement décroissante.

Suites arithmétiquesUne suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n un+1 = un + r.
Le nombre r est appelé raison de la suite