EXERCICE 1

u1 = 0, 23 et u2 = 0, 41.
Etudions sommairement la fonction f sur [0, 2]. On a f'(x) = 2(1 - x), et donc f est croissante sur [0, 1] et décroissante sur [1, 2]. La figure suivante répond aux questions (b) et (c).

On prend comme hypothèse de récurrence à l’ordre n la propriété P(n) : 0 < un < 1.
P(0) est vrai, puisque comme u0 = a, on a bien 0 < u0 < 1.
On suppose que P(n) est vraie. On remarque que la fonction f est strictement croissante sur [0, 1], et donc que :

ce qui établit bien P(n + 1) et achève la démonstration par récurrence.

Formons pour tout entier n :

D’après la question précédente, comme un appartient à l’intervalle ]0, 1[, cette différence est positive, et donc la suite (un) est croissante.

La suite (un) est croissante et majorée par 1. Elle est donc convergente.

Il vient :

A l’aide d’une récurrence évidente, on établit que pour tout entier n, on a vn = v02n. Comme v0 = , on a

Comme lim n+2n = + et que 0 < < 1, on peut dire que la suite (vn) converge vers 0, et donc que la suite (un) converge vers 1.

EXERCICE II

Première partie
2 est racine évidente de (E). On peut donc factoriser le polynôme z3 + 2z2 - 16 par (z - 2) , c’est à dire qu’il existe trois réels a, b et c tels que :

Par la méthode des coefficients indéterminés, on trouve a = 1, b = 4 et c = 8. L’équation (E) peut donc s’écrire :

Les solutions de l’équation (E) sont donc les solutions de z - 2 = 0 ou de z2 + 4z + 8 = 0. On trouve trois solutions :

Deuxième partie

La figure complétée est en fin de sujet.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si = . L’égalité des affixes de ces vecteurs fournit

L’affixe zE de E vérifie la relation :

De même, l’affixe zF du point F vérifie :

La figure complétée :

On a facilement :

On en déduit l’égalité :

ce qui prouve que F est l’image de E par la rotation de centre A et d’angle . En conséquence, le triangle AEF est donc rectangle isocèle en