Chapitre 2 - Systèmes cristallins ; groupes de symétrie
1) Quelles symétries dans les cristaux ?
Exemple :
Symétries de la figure :
P’1
P
P’2

P2

- translations du réseau
P1
P’

- rotation de 90°
- réflexion composée avec une translation

1-1 Le postulat de Schönflies-Fédorov
« Soit P un point quelconque du cristal. Il existe une infinité discrète, illimitée dans les trois dimensions de l’espace, de points P’ autour desquels on observe un arrangement atomique identique qu’autour de P ou bien une image de cet arrangement ».

 Détermination de toutes les symétries d’un cristal ?

1-2 Rappel sur les opérations de symétrie de l’espace.
• Les symétries (ou isométries) sont des transformations de l’espace conservant les

distances.
• La matrice de passage d’une isométrie vérifie det P = +1 ou -1.
• Dans l’espace à 3D, les isoméries sont :
 les translations
 les symétries ponctuelles (OSP) laissant invariant au moins un point :

inversion par rapport à un point rotation par rapport à un axe rotoinversion (= composition d’une rotation par l’inversion)
 la composition d’une OSP avec une translation.

1-3 Les ordres de rotation interdits dans les cristaux.
• Soit une rotation d’angle φ laissant le réseau invariant :



2π n • L’invariance par translation impose comme condition sur n : n = 1, 2, 3, 4 ou 6

démonstration
• Autrement dit, à 2D, on ne peut pas paver le plan avec des pentagones ou avec des polyèdres réguliers à n > 6 côtés.

2) Les systèmes et réseaux de Bravais
•

Les mailles compatibles avec les symétries d’orientation autorisées définissent les
« systèmes de Bravais » .

•

A 3D (resp. 2D) on décrit la maille avec 6 (resp. 3) « paramètres de maille » : a, b, c, α, β, γ, où

 

 

 
 

α  b, c   c, a    a, b
• Dans le plan (2D), il existe 4 systèmes de Bravais
Système

Maille

oblique

parallélogramme

rectangulaire

rectangle

hexagonal carré Paramètres ab Axes symétrie aucun ab, =90°

axe 2

losange 120°

ab, =120°

axe 6