Concours National Commun - Session 2010 Corrigé de l’épreuve de mathématiques I Filière MP
Étude de l’équation de la chaleur
Corrigé par M.TARQI

I. R ÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet un maximum en a, donc d’après la condi∂f tion nécessaire des extremums df (a) = 0, donc (a) = 0 pour tout i = 1, 2, ..., n. ∂xi Par ailleurs, puisque U est un ouvert, alors il existe η > 0 tel que B(a, η) ⊂ U, donc pour tout |h| < η, a + h ∈ U et d’après la formule de Taylor-Young, on a : f (a + h) = f (a) + 1.2.2 1.2.2.1 Soit h = t u , alors |t| ≤ η, alors u f a+t u u − f (a) = t2 2 u
2

1 2

hi hj
1≤i,j≤n

1 ∂2f (a) + o( h 2 ) = Qa (h) + o( h 2 ). ∂xi ∂xj 2

Qa (u) + o(t2 ) ≤ 0,

ainsi pour t voisin de 0, on a : t2 Qa (u) + o(t2 ) ≤ 0. 1.2.2.2 L’inégalité précédente s’écrit aussi pour tout t ∈] − η, η[\{0} : Qa (u) + ε(t) ≤ 0, où lim ε(t) = 0, donc quand t tend vers 0, on obtient Qa (u) ≤ 0, donc Qa est négative. 1.2.3 Comme Qa est négative, alors ∂2f (a) = (Ha (ei )|ei ) = Qa (ei ) ≤ 0. ∂x2 i Où (e1 , e2 , ..., en ) désigne la base canonique de Rn et (.|.) le produit scalaire canonique. En particulier n ∂2f f (a) = (a) ≤ 0. ∂x2 i i=1
CNM2010IMPC.tex - page 1 t→0 1.3 Applications aux fonctions harmoniques 1.3.1 f est une fonction continue sur la partie compacte K, donc elle bornée et atteint ses bornes. 1.3.2 Supposons que f atteint son maximum en un point a de l’intérieur de K, alors d’après ce qui précède ( question [1.2] ), f (a) ≤ 0, ce qui est absurde puisque (f ) > 0. Donc f atteint son maximum sur la frontière de K, c’est-à-dire : sup f (x) = sup f (y). x ≤1 y =1

1.3.3 1.3.3.1 Pour tout x ∈ K, fε (x) = f (x) + ε(x2 + x2 + ... + x2 ),