Triangles rectangles 1 Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle

Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exemple 1 : Calcul de la longueur de l'hypoténuse Soit MER un triangle rectangle en E tel que ME = 9 cm et ER = 6 cm. Calcule la valeur exacte de MR puis donne la valeur arrondie au millimètre. Figure à main levée : Le triangle MER est rectangle en E donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : 6 cm R E MR2 = ME2 + ER2 MR2 = 92 + 62 MR² = 81 + 36 MR2 = 117 MR =  117 cm (valeur exacte). Donc MR ≈ 10,8 cm (valeur arrondie au millimètre). 9 cm

?

M

Exemple 2 : Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit Soit RAS un triangle rectangle en A tel que RS = 9,7 cm et RA = 7,2 cm. Calcule AS. Figure à main levée : Le triangle RAS est rectangle en A donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : RS2 = RA2 + AS2 R 7,2 cm A 9,72 = 7,22 + AS2 AS2 = 9,72 – 7,22 9 ,7 ? AS² = 94,09 – 51,84 cm AS2 = 42,25 S AS =  42,25 cm. Donc AS = 6,5 cm (valeur exacte).

2 Démontrer qu'un triangle est rectangle Réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce plus grand côté pour hypoténuse.

Exemple : NEZ est un triangle tel que NE = 75 cm ; EZ = 45 cm et NZ = 60 cm. Démontre que ce triangle est rectangle. Dans le triangle NEZ, le plus long côté est [NE] donc on calcule séparément NE2 et EZ2 + NZ2 : D'une part, NE2 = 752 NE2 = 5625 D'autre part, EZ2 + NZ2 = 452 + 602 EZ2 + NZ2 = 2025 + 3600 EZ2 + NZ2 = 5625

On constate que NE2 = EZ2 + NZ2. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NEZ est rectangle en Z.