1ère STMG

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Fonctions polynômes de degré deux
La parabole, représentation graphique des fonctions polynômes de degré deux, fut l’une des courbes les plus étudiées. Tout, ou presque, est connu de nos jours. Et les utilisations de cette courbe son nombreuses… Historiquement, Newton et Leibniz s’interrogeaient individuellement sur la chute des corps. D’ailleurs étymologiquement, parabole vient du grec para : à côté et ballein : lancer. Et pour cause, ils s’étaient rendus compte, comme déjà les grecs deux mille ans plus tôt, que la forme des trajectoires de tous les objets lancés était la même. Des applications en balistique furent vite trouvées en cette fin de XVIIème siècle marquée par les guerres (Hollande, Ligue d’Augsbourg, austro-turque, etc.) Après la révolution industrielle, on construisit des ponts (Garabit par Eiffel) et des barrages (Vouglans sur l’Ain) en forme de parabole car elle permet de reporter la poussée. Puis avec l’avènement de la conquête spatiale, on a constaté que certaines comètes suivaient des trajectoires paraboliques. Et bien sûr, la parabole permet de nos jours à tout le monde de recevoir le satellite (le vrai nom est paraboloïde de révolution, mais on comprend que les commerciaux n’aient retenu que parabole…).

L’objectif de ce chapitre est d’approfondir les connaissances acquises en classe de seconde. I. Rappels de la classe de seconde : Définition : une fonction f définie sur un intervalle I est une fonction du second degré (ou fonction polynôme de degré deux) si on peut trouver trois paramètres a, b et c, avec a ≠ 0, tels que l’on puisse écrire son expression sous la forme f (x) = ax2 + bx + c, x∈I.
Cette écriture est appelée forme développée.

Toutes les fonctions du second degré sont représentées graphiquement par des paraboles dont le sommet S a pour -b abscisse xS = . 2a Pour le signe des fonctions du second degré, voir chapitre 3 : second degré.

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II. Fonction dérivée : Définition : Soit