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L'essentiel dans l'Algèbre
S4
Mohamed BARRADI
FSJES Aïn Sebâa

13 Avril 2014
Ce document contient tout ce que vous allez voir dans l'algèbre cette semestre, et comme toujours il cache des surprises pour ceux qui vont au bout du document, comme le professeur "Onizuka Eikichi " le disait : Il faut bien s'amuser

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et bien embéter le Directeur :D.

Chapitre 1 : Résolution de systéme Ax=b
On commence par calculer le det(A):
Si le détérminant est non nul c’est à dire det(A) 6= 0; on peut résoudre soit avec la méthode de Cramer ou Pivot de Gauss ( De préférence avec la méthode de Cramer)
La méthode de Cramer donne une solution unique c’est à dire un Point.
Si le détérminant est nul ( det(A) = 0), Alors le sysltéme n’est pas de
Cramer est on utilise juste la méthode du Pivot de Gauss.
Dans le cas de det(A) = 0, la méthode de Gauss donne 3 cas:(Ce qui est
() c’est pour P \ P 0 \ P ")
0
1
1er cas :

comme exemple

@ 0
0
0
1
: @ 0
0

0

0

2
1
0

1
3
0

A

avec (

est un chi¤re 2 R)

1
1
2 A
4

Dans ce cas la solution est:
S = ? (Il y a pas d’intersection entre 3 plans)

1

2éme :

comme exemple

0

@ 0
0
0
1
: @ 0
0

x + 2y + z = 1 y + 3z = 2

0

0

2
1
0

1
3
0

1
A

0

avec (

est un chi¤re 2 R)

1
1
2 A
0

(c’est une droite / équation d’une droite)

Dans ce cas la solution est:
S = f(5

3éme :

comme exemple

7z; 3z

2; z) =z 2 Rg
1

0

@ 0 0 0
0 A
0 0 0
0
0
1
1 2 1 1
: @ 0 0 0 0 A
0 0 0 0

avec (

est un chi¤re 2 R)

x + 2y + z = 1 (c’est une plan / équation d’un plan)
Dans ce cas la solution est:
S = f(1

2y

z; y; z) =y; z 2 Rg

Cette partie on va la revoir dans l’intersection des 3 Plans.

2

Chapitre 2 : Diagonalisation de A.

Dans ce chapitre on aura 5 points importants:
1. Polynôme Caractéristique.
2. Sp(A) ou les valeurs propres de A.
3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres.
4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A.
5. Applications.

2

2.1

Polynome Caractéristique PA (X):

PA (X) = det(A
1
1 1 2
1er exemple A = @ 1 2 1 A :
2 1 1
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