Chapitre 2
GENERALITES SUR LES
FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE
VARIABLE REELLE
L’´tude g´n´rale d’une fonction num´rique de la variable r´elle a ´t´ abord´e en Terminale. e e e e e ee e
Nous nous contenterons ici de brefs rappels et d’´l´ments nouveaux concernant les limites, les ee branches infinies et les fonctions r´ciproques. e Nous vous invitons cependant a revoir soigneusement dans votre cours de Terminale ce qui
`
concerne les axes de sym´trie du graphe d’une fonction, le calcul de limites, la continuit´, la e e d´rivabilit´, le calcul de d´riv´es et l’´tude des variations d’une fonction. e e e e e 2.1
2.1.1

Notion d’asymptote
D´finitions
e

Soient I ⊂ R , une fonction f : I → R, et Cf sa courbe repr´sentative dans un rep`re orthogonal. e e e • Cf admet une branche infinie si l’une au moins des coordonn´es de l’un de ses points peut devenir, en valeur absolue, arbitrairement grande.
• Dans un rep`re (O, ı, ), soit M (x, f (x)); si la droite (OM ) a une position limite (Od) e quand M s’´loigne a l’infini sur Cf , la direction (Od) est dite direction asymptotique de e `
Cf .
• Deux courbes repr´sentatives Cf et Cg sont dites asymptotes en l’infini si : e lim [f (x) − g(x)] = 0 (ici ∞ d´signe +∞ ou −∞ ). e x→∞ e • Si x→a f (x) = ∞, la courbe Cf admet une asymptote verticale d’´quation x = a. lim Exemple : Consid´rons les fonctions d´finies par: e e f : x → x2 (1 + e−x ) g: x → x2 Cf et Cg sont asymptotes en +∞, car lim (f (x) − g(x)) = lim x2 e−x = 0. x→+∞ x→+∞
Si f est une fonction donn´e, on s’int´resse plus particuli`rement aux droites asymptotes a sa e e e ` courbe repr´sentative Cf , et aux ´ventuelles directions asymptotiques de celle-ci. e e

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2.1.2

Recherche pratique

• Si x→a f (x) = ∞, Cf admet une asymptote verticale d’´quation x = a. lim e e • Si x→∞ f (x) = b, Cf admet une asymptote horizontale d’´quation y = b. lim 1 admet la droite d’´quation x = 1 pour asymptote