Algorithme de Kruskal

Sommaire I. Présentation de l’entreprise 2 II. Enoncé du problème 3 III. Modélisation du problème à l’aide de la théorie des graphes. 3 IV. Enoncé et Description de l’algorithme 5 a. Algorithme de Kruskal 5 b. Algorithme de Prim 10 a. Représentation schématique du problème 13 V. Conclusion 14 Présentation de l’entreprise L’entreprise La Meuh est une toute jeune entreprise du secteur agro-alimentaire français crée en 2009 par 3 jeunes ingénieurs : Ingrid Evrard

Miage Th´orie des graphes et algorithmes e Jo¨lle Cohen e 8 septembre 2006 Introduction Ce r´sum´ de cours ne pr´tend pas ˆtre exhaustif ni se substituer en aucune mani`re aux e e e e e ouvrages publi´s sur ce sujet. Ce document n’a d’autre but que de fournir aux ´tudiants un e e support de cours. Apr`s une pr´sentation des notions de base sur les graphes seront abord´s e e e quelques probl`mes et des algorithmes les r´solvant : e e – parcours de graphe – arbre couvrant

Note La règle (appelée « principe d’optimalité ») commune aux algorithmes de recherche de plus courts chemins peut s’énoncer ainsi : un plus court chemin [S1, Sn] entre deux sommets S1 et Sn d’un graphe est constitué de plus courts chemins reliant deux sommets du chemin [S1, Sn] ; on la démontre par l’absurde sans problème. La recherche du plus court chemin passe donc par la recherche des plus courts chemins reliant S1 à tous les sommets du graphe susceptibles de se trouver sur le trajet ;

Matrice d’adjacence 1.3.2 Matrice d’incidence 1.3.3 Exemple Chapitre 2 : PROBLEMES DE CHEMINEMENTS 2.1 2.2 Définition Le problème de l’arbre de poids minimum. Algorithme de Kruskal et Application 2.3 Problèmes de plus courts chemins 2.3.1 Définitions 2.3.2 Exemple 2.3.3 Plus courts chemins d’un sommet à tous les autres. Algorithme de Bellman Chapitre 3 : PROBLEME D’ORDONNANCEMENT 3.1 Introduction 3.2 Le problème d’ordonnancement simple 3.2.1 Définitions 3.2.2 Exemple 3.2.3 Formulation potentiels-tâches

alors : � une clique est un sous-graphe (induit) complet de G, � un stable est un sous-graphe induit de G sans arcs/arêtes. Trouver une clique d'ordre k dans un graphe est un problème NP-complet, ce qui implique qu'il n'existe pas à ce jour un algorithme résolvant ce problème de façon exacte avec une complexité polynomiale (elle est exponen- tielle). Le problème consistant à trouver la plus grande clique d'un graphe est appelé � problème de la clique maximum �, et est encore plus di�cile ! (il est

classes (a,b,cd), (a,c,bd), (a,d,bc), (b,c,ad), (b,d,ac), (c,d,ab) 1 partition à 4 classes (a,b,c,d) Exemple : pour n = 30 objets, on a B30 = 8,47.1023 Bn > exp(n)  Nécessité de définir des critères de bonne classification et d’avoir des algorithmes performants 14/10/2011 © Stéphane Tufféry - Usage réservé à l’Université Rennes 1 10 Classement et prédiction   Ce sont des méthodes prédictives Classement : la variable à expliquer (ou « cible », « réponse », « dépendante

Après quelques exemples qui permettront de mieux cerner le domaine de la recherche opérationnelle, nous introduirons un outil à la fois graphique et théorique: les graphes. Afin de mieux appréhender la complexité d’un problème ou la rapidité d’un algorithme, nous nous intéresserons à la théorie de la complexité. Enfin, nous verrons un autre outil important de la recherche opérationnelle qui est la programmation linéaire. L’avantage de cet outil est d’apporter une solution générique à la résolution

8Définitions  Operational research UK, US operations research, Or simply OR  Cambridge Dictionary:  The systematic study of how best to solve problems in business and industry  Wikipedia:  Is the use of mathematical models, statistics and algorithms to aid in decision- making  Roadef (société française de recherche opérationnelle et d’aide à la décision):  Approche scientifique pour la résolution de problèmes de gestion de systèmes complexes 9Formalisation Face à un problème pratique de

ıne e e ıne est une chaˆ reliant les sommets u et v et ne passant qu’une fois par le sommet x. ıne Comment adapter cette transformation de l’espace des chaˆ ınes afin de pouvoir ´liminer des occurences multiples des e sommets u et v? Construisez un algorithme A permettant de transformer une chaˆ quelconque µ reliant les sommets u et v en une ıne chaˆ ´l´mentaire µ′ reliant ces sommets. ıne e e En utilisant l’algorithme pr´c´dent, d´montrez algorithmiquement la proposition suivante: e e e Pour toutes

configuration de départ donnée. Le problème consiste à chercher le plus court chemin entre : 1. un sommet de départ donné et un sommet d’arrivée donné ; 2. un sommet et tous les autres ; 3. n sommets de départ et m sommets d’arrivée. En voici un algorithme de résolution (méthode de Dijsktra). Les données sont : un graphe G, un sommet de départ s. On associe à chaque sommet x le coût du meilleur chemin connu appelé poids(x). On mémorise également, pour chaque sommet, le voisin par lequel on « arrive