Approximation de Gauss

Interprétation Miroirs concaves 1.1.2. Interprétation En résumé * Théorie Aspect Algébrique : Relation de Conjugaison On commence par étudier le cas du miroir concave. On considère un objet A et son image A’. On utilise les conditions de Gauss, nécessaires pour que le système soit stigmatique, c'est-à-dire que quelque soit la position du point I, le rayon passe toujours par le même point A'. On trace la bissectrice de I. Dans les triangles AIC et CIA', les sommes des angles donnent respectivement :

correspondent à la variation de la conjugaison objet- image avec la longueur d'onde (ceci étant du au caractère dispersif des matériaux employés dans les instruments d'optique) et les aberrations géométriques dues au fait que les conditions de Gauss de l'optique paraxiale ne peuvent être assurées exactement. III-1- ABERRATIONS CHROMATIQUES Les verres utilisés en optique sont dispersifs. Leur indice dépend de la longueur d'onde dans le vide de la lumière utilisée. On définit le pouvoir

(ou éventuellement concave) L’ensemble de ces deux miroirs constitue l’objectif du télescope. (M1,M2) AB¸ A 1B 1 → Objet à l’infini image objective α [Fob’] M1 M2 AM1BM1 II. Rappels sur les miroirs sphériques Schématisé dans les conditions de Gauss par :   C F F S S F‘ • C F‘ Miroir concave Eléments cardinaux Miroir convexe Les deux foyers sont confondus au milieu du segment SC On a : H≡H’≡S et N≡N’≡C Distance focale objet : SF = f d’où f = f ‘ = SC 2 Distance focale image : SF

que L est le milieu de [GC]. 5. Montrer que L, A et H sont align´es. 6. Montrer que L appartient ` a la droite (KB). 7. Que peut-on dire des droites (GC), (HA) et (KB) ? 1 Fin du contrˆ ole A rendre pour mardi 15/11 Dans le cas de conditions de Gauss , les r`egles de construction de rayons lumineux ´emergents d’une lentille convergente de foyers F et F’ et de centre optique O sont les suivantes : – Les rayons passant par le centre O ne sont pas d´evi´es. – Les rayons parall`eles `e l’axe (FF’)

Food & Drug Administration Aurore boréale en Alaska. Crédit: Wikipédia Plan - Longueurs d’onde Introduction - Bref historique Approximations et omissions de l’optique géométrique - Fondements p - Principe de Fermat - Interférences et diffraction - Dioptres et miroirs plans - Dioptres et miroirs sphériques p - Lentilles épaisses - Stigmatisme et conditions de Gauss - Les 3 lois de SnellDescartes -Lentilles minces Lentilles (constructions et formules) - Autres qualités des p q instruments d’optique

Lentilles minces Romain BEL 3 janvier 2002 1 Table des matières 1 Lentilles minces, stigmatisme, relations de conjugaison 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'approximation de Gauss. Stigmatisme des lentilles Centre optique, foyers . . . . . . . . . . . . . . . . Distance focale, vergence . . . . . . . . . . . . . . . Objet, image, réels ou virtuels? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . La méthode de Gauss et quelques variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les méthodes QR/QL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V La résolution de systèmes linéaires : les méthodes itératives V.1 V.2 V.3 V.4 V.5 Un aperçu des méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . .

………………………………………………page 3 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab II] Méthode de Simpson : ………..………………………………………page 5 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab III] Méthode de Gauss-Legendre : ………………………………………page 7 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab IV] Méthode des Rectangles : …………………………………………page 11 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 7 7 8 2 Approximation de la solution de l’´quation de la chaleur en e dimension 1 par diff´rences finies e 2.1 Principe de la m´thode : le probl`me aux limites d’ordre 2 en e e dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Approximations des d´riv´es d’une fonction r´guli`re . e e e e 2.1.2 Approximation de (1) par diff´rences finies . . . . . . e 2.1.3 Convergence de la m´thode . . . . . . .

vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Approximation de fonctions et de données . . . . . . . . . . . . 3.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Approximation par polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Polynôme d’interpolation