Champ de vecteurs

. . . . L’équation de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fluides en équilibre 3.1 3.2 Fluide au repos dans un champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Théorèmes de Bernoulli - Applications 4.1 4.2 4.3 Écoulement parfait stationnaire incompressible

est beaucoup utilis´e en m´ecanique des fluides. En e´ lectromagn´etisme, la force qui L’op´erateur A · ∇ ou A · grad s’exerce sur un dipˆole (´electrique ou magn´etique) s’exprime en fonction de cet op´erateur. Il transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Son expression est : ∂ ∂ ∂ #– # – A · grad = A x + Ay + Az ∂x ∂y ∂z (14) Il faut l’utiliser composante par composante en coordonn´ees cart´esiennes. #– # – #– B s’´ecrit : Par exemple, la composante selon x de A · grad ∂B x

72 72 73 73 73 74 74 75 75 75 76 77 77 77 77 77 77 78 79 79 80 80 82 82 83 83 84 84 84 85 86 87 88 89 10 Eléments d’analyse vectorielle 10.1 Champ scalaire - Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . 10.2 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . 10.5 Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Laplacien vectoriel . . . . . . .

1 Énoncé d’Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.2 Énoncé complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Étude de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Théorème des formes normales des champs de vecteurs sur Tn 28 3.4.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 3.5 3.4.3 Démonstration du théorème des formes normales . . . Théorème KAM par Nash-Moser

. . . . . . . . . . . 7.2 Définition et propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 46 8 Les vecteurs 8.1 Repérage de l’espace . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Orientation d’un plan et d’un trièdre. 8.1.2 Repères. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Produits scalaire et vectoriel . . . . . . . . . . 8.2.1 Produit scalaire de deux vecteurs. . . . 8.2.2 Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Quelques remarques. . . . . . . . . . . 8.3 Différentielles et dérivées

est de classe C k , k ∈ N ∪ {∞}, si les fonctions fi sont de classe C k . D ÉFINITION I.1.2. n Soit U un ouvert de Rn . On appelle champ de vecteurs sur U une application X = (Xi )i=1 de U dans Rn . On dit que X est k k de classe C , k ∈ N ∪ {∞}, si les fonctions Xi (de U dans R) sont de classe C . Les 1-formes différentielles f = ∑ni=1 f dxi et les champs de vecteurs X = (Xi )i=1 sont mis en dualité par la formule n n f , X (x) = ∑ fi (x)Xi (x). i=1 Exemple I.1.1 (Exemple fondamental). Soit U

dans un champ uniformeMouvement dans un champ uniforme I- Qu’est-ce qu’un champ uniforme ? • Un champ vectoriel est représenté par un vecteur : il a une direction, un sens et une valeur. • Un champ vectoriel uniforme est un champ qui garde, en tout point d’une région de l’espace, la même direction, le même sens et la même valeur. Nous allons étudier deux champs vectoriels uniformes : • Le champ de pesanteur terrestre g⃗ . Il est assimilable au champ de gravitation

: Interaction électrique. Loi de Coulomb dans le vide. Champ électrique. Dipôle. Différence entre diélectriques et conducteurs. – Théorème de Gauss : Flux du champ électrique. Théorème de Gauss (démonstration). Applications du théorème de Gauss. – Potentiel électrique : Potentiel et champ électrique. – Équations de Laplace et de Poisson. – Énergie : énergie interne d’une distribution de charges. Énergie potentielle d’un dipôle dans un champ électrique uniforme. – Notions sur la polarisation de la

Chap 6 CHAMPS ET FORCES I. Notion de champ. 1. Champ scalaire. Définition: On appelle champ scalaire la représentation d’un ensemble de valeurs prises par une grandeur en différents points de l’espace. Chaque valeur dépend de la position du point. Exemple de champ scalaire: Une carte des températures. 2. Champ vectoriel Définition: On appelle champ vectoriel la représentation d’un ensemble de vecteurs représentant une grandeur en différents points de l’espace. Chaque vecteur dépend de la position

Terminale générale - Mouvement dans un champ uniforme - Fiche de coursMouvement dans un champ uniforme – Fiche de cours 1. Projectile dans le champ de pesanteur uniforme a. La force et le champ de pesanteur La force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet de masse m est définie par : F⃗=m GM Terre (RTerre+altitude) 2 n⃗ On définit le champ de pesanteur ℊ⃗ (z) (en fonction de l’altitude z) : ℊ⃗ (z)= GM Terre (RTerre+z ) 2 n⃗ Pour une altitude donnée et localement g⃗ est supposé uniforme ;