Champ de vecteurs

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

toujours:f étant un champ scalaire et V un champ vectoriel: ! ! div((Rot V ) = 0 ! ! ! Rot(Gradf ) = 0 ! div(Gradf ) = f= @2f @2f @2f + 2 + 2 2 @x @y @z ! Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2 ! ! ! ! ! (x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V ) Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2 Dérivées directionnelles Exercice 4 a)Trouver la dérivée directionnelle du champ: U = 2x3 y ! en P(1

torseur est un champ de vecteurs équiprojectif, champ dont les vecteurs [pic]en chaque point P s'appellent « moments » du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon : [pic]. Un moyen mnémotechnique de la retenir est la dénomination "formule de BABAR" : [pic], où le vecteur [pic](associé de façon unique à tout champ équiprojectif), s'appelle résultante du torseur. Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa

de la physique quantique. Les champs proposent un formalisme intuitif pour modéliser ces phénomènes. L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs. On appelle champ scalaire un champ qui, à tout point de l'espace, associe un réel. On appelle champ vectoriel un champ qui, à tout point de l'espace, associe un vecteur. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse

S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Le Torseur Le torseur : un outil mathématique R {T}= M(o) o Il représente un champ de vecteur équiprojectif. Champ des vitesses d'un solide en rotation Le Torseur S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Le torseur : adapté à la mécanique des solides. Le torseur est un outil mathématique particulièrement adapté aux calculs de mécanique du solide indéformable. Il apparaît dans les trois chapitres du programme de S2I : ∗ Cinématique du solide ∗ Modélisation des actions

choisit-on le solvant d’extraction ? Exercice n°3 Des champs pour dépolluer l’air : réalisation d’un filtre électrostatique Document 1. Le concept de champ En physique, le concept de champ n’a que peu à voir avec l’entité rurale vouée à la culture. Il a été inventé pour traduire une influence, dans une région de l’espace. On devine facilement la diversité des grandeurs physiques qui peuvent être décrites par un champ. Les champs les plus simples sont caractérisés par un seul paramètre,

. 19 1.2.5 Lignes d’´emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.6 Cas d’un mouvement stationnaire ou permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.7 D´eriv´ee particulaire d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ´ Pb. 1.1 : Etude de l’´ecoulement potentiel autour d’un mobile cylindrique

. Scalaire, vecteur, système de coordonnées . . . . . Vecteur de position; produit scalaire et vectoriel. Champ scalaire, champ vectoriel . . . . . . . . . . . Équations de Maxwell Les équations de Maxwell (régime temporel) . . La divergence: un champ scalaire . . . . . . . . . . Le rotationnel: un champ vectoriel . . . . . . . . . Régime harmonique: amplitude complexe . . . . Avantages de la notation complexe . . . . . . . . Les équations de Maxwell (régime harmonique) Les champs D et H; relations

indépendance linéaire. 5) Bases 6) Relation de liaison II : Espace de dimension finie 1) Théorème fondamental 2) Théorème de la dimension des bases 3) Théorème de la base incomplète 4) Dimension d'un sous–espace vectoriel 5) Rang d'un système de vecteurs III : Somme de sous–espaces vectoriels 1) Somme de deux sous–espaces vectoriels 2) Somme directe de deux sous–espaces vectoriels 3) Supplémentaires 4) Cas de la dimension finie IV : Espaces affines 1) Définition 2) Barycentres 3) Sous-espaces affines

Exercice 0.3 (a) Démontrez la règle « BAC-CAB » : A × ( B × C ) = B ( A · C ) − C ( A · B ). (b) En déduire que A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0. Exercice 0.4 Déterminez le vecteur η = r − r� séparant les points r� = (2, 8, 7) et r = (4, 6, 8). Déterminez la norme η = |η| et le vecteur unitaire ηˆ = η/η. Exercice 0.5 Calculez le gradient des fonctions suivantes : (a) f ( x, y, z) = x2 + y3 + z4 . (b) f ( x, y, z) = x2 y3 z4 . (c) f ( x, y, z) = ex sin y ln z. 1 Exercice