Analyse complexe

Analyse Complexe Philippe Charpentier Université Bordeaux I Septembre 2010 P HILIPPE C HARPENTIER U NIVERSITÉ B ORDEAUX I L ABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES P URES 351, C OURS DE LA L IBÉRATION , 33405 TALENCE Adresse électronique: ♣❤✐❧✐♣♣❡✳❝❤❛r♣❡♥t✐❡r❅♠❛t❤✳✉✲❜♦r❞❡❛✉①✶✳❢r Préface J ai donné ce cours à l’université Bordeaux I en première année de Master durant les années universitaires 2007-08, 200809, 2009-10 et 2010-11. Le contenu de ce polycopié est exactement ce que j’ai traité devant les étudiants

Dans sa thèse de doctorat exposée à Helmstedt, Gauss démontre complètement (1799) le théorème fondamental de l'algèbre (énoncé au préalable par Girard et démontré partiellement par d'Alembert). « Tout polynôme d'une variable complexe, de degré n, admet n racines complexes (éventuellement égales) ». En savoir plus : http://serge.mehl.free.fr/chrono/Alembert.html#ThFond * L'étude des polygones réguliers, leur constructibilité : Gauss énonça qu'un polygone régulier à n côtés est constructible

  Correction  sujet  BTS      Partie  A  :    L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3  ;10 .  Partie  B  :    1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e .  u = −0,2x + 1   donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2  b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc  sur 1  ;10 .  2. Tableau de variations de g  :  x 1 10 g′(x) +  g  4,63  2,77  3. a. Tableau de valeurs de g  :  x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui

propre, mais juste un numéro appelé indice (de 1 à n si le tableau possède n cases). Chaque case (variable) est donc totalement identifiée par son indice et le nom du tableau. #" Le tableau lui-même constitue aussi une variable. C’est une variable complexe (par opposition aux variables simples) car il est constitué d'autres variables (les éléments du tableau). II. Déclaration et manipulation des tableaux à 1 dimension A. Déclaration 1. Tableau variable La syntaxe de la déclaration d'une variable

Classe de terminale 10 Jeudi 26 novembre 2009 Devoir de mathématiques n°3 Exercice 1 (exponentielle, bac S, Antilles Guyane, juin 2008, 8 points) Soit la fonction définie sur R par = −3 . 1. 2. 3. 4. Démontrer que l’on a pour tout : =3 − . Déterminer la limite de en +∞ puis la limite de et −∞. Calculer la dérivée de et étudier les variations de . Calculer 1 . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de des axes du repère. 5. Tracer l’allure de la courbe de . 6. Démontrer

Exercice 1: (6,5 points) 1*) Soit le polynôme de la variable complexe Z défini par P(Z) = Z3 + (1 - 4i) Z 2- (7+4i) Z-3+4i a) Montrer que l’équation P(Z) = 0 admet une solution imaginaire pure Z0. (0,5 point) b) Résoudre dans C l’équation P(Z) = 0 et donner les solutions sous formes algébrique. (1 point) 2*) Soient A (1+2i), B (-2+i) et C (-1-2i) dans (O, C1, C2) repère orthonormée du plan complexe. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f transformant A en B et o en C. (1

EXERCICE 2 (6 points ) (Commun à tous les candidats) Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle [0; +∞[ par : f (x) = xe−x et g(x) = x2 e−x . On note Cf et Cg les représentations graphiques des fonctions f et g dans le plan complexe muni d’un → − − → repère O, i , j . Partie A → − − → La courbe représentative Cf de la fonction f dans un repère O, i , j est donnée ci-dessous. − → j Cf − → i O 1. D’après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa

souvent plus malin comme nous le verrons avec les nombres premiers pn . Suite à des manipulations astucieuses on propose une autre écriture de cette série que l’on manipule alors avec les règles usuelles de calcul sur les fonctions de la variable complexe (dérivée, résidu, intégrale de Cauchy, ...). Les informations sur les an , pour des grands indices n sont reliées aux singularités de la fonction analytique attachée à la série S. PGCD Fonctions génératrices ϕ(n) La fonction ζ

RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule intégrale, facilement maniable pour l’analyste. Par la suite, sa théorie a été développée selon deux axes différents :