Comparaison asymptotique

Fiche Cours Nº : 32002 MATHEMATIQUES Série S LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 2 : les fonctions Plan de la fiche I - Limites, comportement asymptotique II - Dérivation III - Continuité I - Limites, comportement asymptotique Définitions Une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à droite ; • tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment

l’élément clé ne se trouve qu’une seule fois dans le tableau A et que toutes les positions de clé dans le tableau sont équiprobables. Pour 1  i  n, Ii représente l’événement clé apparaît en position i dans le tableau A. Soit c(I), le nombre de comparaisons effectuées pour la donnée I. (a) Montrer que c(Ii ) = i. En déduire la complexité moyenne de l’algorithme. (b) On suppose maintenant que clé est dans le tableau A avec une probabilité q. Pour le tableau A, Ii représente toujours l’événement clé

MATHEMATIQUES Série S LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 2 : Les fonctions Calculer des limites Méthode : On commence par analyser f (x). Peut on directement appliquer l’un des théorèmes du cours (limites et opérations, théorèmes de comparaison) ? Dans la négative, il est nécessaire de donner à f (x) une nouvelle expression relevant de ces théorèmes. Cette nouvelle expression peut être obtenue en imposant à la variable une condition compatible avec la recherche de la limite : condition

+an(x−x0)n+R(x)=∑i=0nai(x−x0)i+R(x) avec R(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que : limx→x0R(x)(x−x0)n=0. Les fonctions R vérifiant ceci sont notées o((x−x0)n) (voir l'article Comparaison asymptotique, et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc : f(x)=∑i=0nai(x−x0)i+o((x−x0)n). Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x=x0+h : f(x0+h)=∑i=0naihi+o(hn). Conséquences immédiates Si une fonction

. 5.2.2 Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Listes chaînées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Algorithmes de manipulation des listes chaînées 5.3.3 Comparaison entre tableaux et listes chaînées . . Programmation dynamique 6.1 Multiplication d’une suite de matrices . 6.2 Éléments de programmation dynamique 6.2.1 Sous-structure optimale . . . . 6.2.2 Sous-problèmes superposés . . 6.2.3 Recensement . . .

LEÇON N˚ 72 : Croissance comparée des fonctions réelles x −→ ex, x −→ xa et x −→ ln x au voisinage de +∞. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Pré-requis : – Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ; – Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ; – Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement

inverser lors du dernier passage. Avec de la logique, on s'aperçoit qu'au premier passage, on place le plus grand élément de la liste au bout du tableau, au bon emplacement. Pour le passage suivant, nous ne sommes donc plus obligés de faire une comparaison avec le dernière élément ; et c'est bien plus avantageux ainsi. Donc à chaque passage, le nombre de valeurs à comparer diminue de 1. Pour illustrer ce principe, prenons la suite de nombres suivante : Code : Autre - liste à trier - Sélectionner

Limites – Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Limite d’une fonction en +∞, en −∞ 3 1.1 Limite infinie en +∞, en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Limite en un réel a 7 2.1 Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Spéciale PSI – LYCÉE BUFFON F ICHE – M ÉTHODE Comment fait-on déjà ? Équivalent d’un logarithme. • Lorsque lim f (x) = 0, on a Analyse 1 – Croissances comparées ln 1 + f (x) x→a V ERSION FONCTIONS x→a E XEMPLES : • ln(1 + ex ) Rappelons ce fameux théorème dit « des croissances comparées » : T HÉORÈME 1 (Croissances comparées) • ln(1 + x 3 ) ln x lim =0 x→+∞ x • ex = +∞ x→+∞ x α lim lim x α . ln x = 0 lim |x|α . ex = 0 • (1 + x) P ROPOSITION