Comparaison asymptotique

ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit + ∞, soit − ∞ , soit a un réel fini (a ∈ R) → → Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ) , et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère 1. LIMITE et ORDRE 1.1. Théorème de comparaison f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I  Si ∀x ∈ I  lim g ( x) = +∞  x →α f ( x) ≥ g ( x) alors lim f ( x) = +∞ x →α Exemple Déterminer la limite en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur R par f ( x) = x + sin x

Corrigé du test (1/2 h) Ch 9 : Limites Comportement asymptotique des fonctions Exercice 1 (1,5 point) Le graphique suivant montre la courbe d’une fonction f définie sur ] [pic] ; – 4 [ [pic]] – 4 ;1 [[pic]]1 ;+[pic][ qui admet deux asymptotes verticales d’équations x = – 4 et x = 1 . Par lecture graphique donner les limites de f(x) aux bornes de son ensemble de définition. [pic] Exercice 2 (2 points) Déterminer les limites des fonctions

Bts MAI session 2003 | Exercice 2 : ( 11 points ) – Partie A - Résolution d’une équation différentielle 1. y ' + y = 0 y' = - y. cette dernière équation différentielle est de la forme : y ' = a y où a est une constante réelle a = -1 Les solutions de l’équation différentielle (E0) sur sont toutes les fonctions ayant pour écriture : où k est une constante réelle quelconque. 2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = 2xe-x. h' (x) = 2e-x - 2xe-x h'(x) + h(x) = 2e-x - 2xe-x + 2xe-x

fichiers : nombre de cases, d’éléments. • des mots : leur longueur • Le choix de telle ou telle structure de données n’est pas anodin quant à l’efficacité d’un algorithme. Recherche d’un élément dans une liste, un tableau, un arbre … comparaisons comparaisons déplacements additions multiplications Tri d’une liste, d’un tableau, d’un fichier… Multiplication de polynômes, de matrices, de grands entiers 7 8 2 Coût des opérations • Dans un ordinateur (un vrai) comme dans une

a, b et c trois réels tels que g(x) = ax + b + c x−2 g(x) a) Calculer de deux manières différentes lim et en déduire a. x →+∞ x b) Calculer lim (x − 2)g(x) et déterminer c x →2 c) Calculer g(0) et déterminer b d) Etudier le comportement asymptotique de la courbe représentative ζ de g 4) Dresser le tableau de variation de g 5) Montrer que I (2, 4) est un centre de symétrie de ζ r r 6) Tracer ζ dans un repère orthonormé (O, i , j ) . Exercice 2 On considère la fonction f : x a x 2 − 2x + 2

Dans tout l’exercice, I désigne un intervalle, et a un point de I. I Généralités A) Définitions Soit , . On dit que f admet un développement limité (DL) à l’ordre n en a lorsqu’il existe des réels et une fonction qui tend vers 0 en a tels que : Autrement dit : Lorsqu’il existe tels que, au voisinage de a : Ou encore lorsqu’il existe tels que : au voisinage de 0. Ainsi, la notion de DL à l’ordre n en a pour revient à la notion de DL à l’ordre n en 0 pour . Exemples

www.your1guide.blogspot.com 3. Développements limités On introduit la notion de « développement limité », qui est l’outil principal d’étude d’une fonction au voisinage d’un point. L’objectif est essentiellement d’apprendre à calculer des développements limités. En pratique, on commencera toujours par se ramener, au moyen d’un changement de variable approprié, au voisinage de 0. On consi0 dère donc, dans tout ce qui suit, un voisinage D de 0, contenu dans R, et, on écrit : f = o g au lieu

Etude d’une fonction 1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t

= exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0, . = 0 que n→∞ et par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. 4. Puisque ln(1 + x) ∼0 x, on obtient un ∼+∞ et la série est donc divergente. 5. En utilisant le développement limité du cosinus, ou l’équivalent 1 − cos x ∼0 que : π2 un ∼+∞ , 2n2 et la série est convergente. 6. On a (−1)n + n ∼+∞ n et n2 + 1 ∼+∞ n2 , et donc (−1)n + n 1 ∼+∞ . 2+1 n n Par comparaison à une série de Riemann, la série n un x2 2 , 1 , n on voit est

limité de , à l’ordre , dans un voisinage de . En déduire que le graphe de admet une tangente ( ) au point d’abscisse . Donner une équation cartésienne de ( ) et préciser la position du graphe par rapport à ( ). 2. En utilisant un développement asymptotique de en , démontrer que le graphe de admet une asymptote ( ). Donner une équation cartésienne de ( ) et préciser la position du graphe de par rapport à ( ). Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7. Déterminer le développement limité à l’ordre