Division euclidienne

Exercices corrigés sur la division euclidienne Exercice 1 : 1. Effectuer à la main chaque division euclidienne. — 473 par 6 — 784 par 15 — 578 par 25 2. Vérifier les réponses avec une calculatrice. Exercice 2 : Dans chaque cas, trouver le nombre manquant. Exercice 3 : Quel est ce nombre mystérieux ? Exercice 4 : Voici une liste de nombres entiers. Recopier parmi les nombres entiers de la liste ci-dessus ceux qui sont : 1. multiples de 2; 2. divisibles par 5; 3. diviseurs de 135; 4. multiples de 3

TS Exercices sur la division euclidienne 1 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur somme est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 8 et le reste 5. 2 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur différence est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 10 et le reste 5. 3 Déterminer tous les entiers naturels n tels que, dans la division euclidienne par 7, ils donnent un quotient égal au reste. 4 Déterminer

exemple : 8753 = 972 × 9 + 5 Le reste de la division euclidienne de 8753 par 9 est 5. Or 8 + 7 + 5 + 3 = 23 et 23 = 2 × 9 + 5 Le reste de la division euclidienne 23 par 9 est également 5. • Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé par une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel comportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division euclidienne de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour

de division euclidienne On se pose ici la question suivante : comment savoir si un polynˆ ome A donn´e divise un polynˆ ome B donn´e. Si A est nul, cela n’est possible que si B est nul ; et, si A est une constante non nulle, c’est vrai quelque soit B. On va d´eterminer un algorithme qui permet de traiter tous les cas. Comme pour les entiers, on va utiliser la division euclidienne. Herv´ e Hocquard (LaBRI) Les polynˆ omes 9 octobre 2012 8 / 21 La division euclidienne Th´eor`eme

Fréquentes EXO 01. Vivement le théorème de Gauss !! Plusieurs méthodes sont possibles : principalement deux méthodes disponibles : faire une division euclidienne et tester les restes ou utiliser la propriété « a|b et a|c implique a|(ka+k’c)... » Méthode 1 : Supposons que 5 divise 4n : alors il existe un entier k tel que 4n = 5k Faisons la division euclidienne de n par 5 : n = 5.q +r avec r = 0, 1, 2 3 ou 4. Donc 4n = 5k s’écrit maintenant 20q + 4r = 5k et 4r = 5 (k-5q) : 4r est donc un multiple

multiple de d). d) La division euclidienne de a par b se traduit par a  bq  r où q et r sont des entiers naturels tels que 0  r  b . e) a  b (mod m) signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m. f) Si a  b (mod m) , alors pour tout entier naturel non nul n, an  bn (mod m) . 34. Vrai ou faux a) Vrai. La division euclidienne de n par 3 s’écrit n  3 k  r avec 0  r  3 . Donc r=0 ou r=1 ou r=2. b) Faux. Dans une division euclidienne, le reste est toujours

Fiche Cours Nº : 32011 MATHEMATIQUES Série S Fiche 11 : Arithmétique Plan de la fiche I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs II - Division euclidienne III - Congruence modulo n (n entier au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs

peut compter sur ses doigts. ex : 0 ; 1 ; 2 … 2) Les entiers relatifs : Ce sont les entiers naturels et leurs opposés. ex : … ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 … 3) Les nombres rationnels : Ce sont les résultats des divisions de 2 nombres entiers relatifs. Si la division tombe juste, on les appelle aussi « décimaux ». ex : )) = 0,5 Certains rationnels sont négatifs. ex :- )) = -0,66666…. 4) Les nombres irrationnels : ex : ( ou [pic] On peut représenter ces ensembles

PGCD de deux entiers par divisions euclidiennes successives. Etape 1Poser la division euclidienne du plus grand des deux entiers par le plus petit On pose la division euclidienne du plus grand des deux entiers par le plus petit. Etape 2Poser les divisions euclidiennes successives des diviseurs par les restes Si le reste de la précédente division euclidienne n'est pas nul, on pose une nouvelle division euclidienne : celle du diviseur par le reste de la précédente division. Tant que le reste n'est

Métropole & La Réunion septembre 2009 EXERCICE 4 : (5 points) Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 1. (a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11. (b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11. (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11. 2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre A n = 2 n + p. On note d n le PGCD de A n et A n