Trigonalisation

Réduction des Endomorphismes 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Valeurs propres et vecteurs propres . Polynôme caractéristique . . . . . . . Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . . Diagonalisibilité et diagonalisation . . Triangularisation (ou trigonalisation) Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 24 24 24 25 4. Arithmétique de 4.1. 4.2. 4.3. 10 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . 10 Division Euclidienne

économique. L’orthogonalisation nécessaire(3) des résidus canoniques qui consiste à obtenir des impulsions qui à chaque instant sont non corrélées, peut être obtenue de manière conventionnelle en effectuant une décomposition de Choleski (processus de “trigonalisation”) de la variance des innovations canoniques. Mais ce mode d’orthogonalisation n’autorise pas une interprétation économique des impulsions indépendantes obtenues. Shapiro et Watson (1988) et Blanchard et Quah (1989) ont les premiers proposé

théorème de D’Alembert-Gauss, stipulant que tout polynôme à coefficients complexes et de degré ≥ 1 admet une racine, en considérant z → |P (z)| (corollaire : tout polynôme à coefficients dans C est scindé dans C[X]). Voir le corollaire ?? sur la trigonalisation de matrices complexes, ou la partie ?? sur les suites récurrentes linéaires. 2.3 Résultats de calcul différentiel 2.3.1 Résultats au premier ordre Théorème 61 (Condition nécéssaire du premier ordre) Si x est un minimum relatif de f et si

des endomorphismes 2.4 Calcul de Am 59 Si A est diagonalisable, il existe une matrice de passage P telle que A = P D P −1 . On a alors Am = P D m P −1 . Et si D = diag(λ1 ,. . . ,λn ) alors D m = diag(λm ,. . . ,λm ). 1 n 3. 3.1 Trigonalisation Définition Un endomorphisme f ∈ L(E) est trigonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure. Une matrice carrée A est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure

des endomorphismes 2.4 Calcul de Am 61 Si A est diagonalisable, il existe une matrice de passage P telle que A = P D P −1 . On a alors Am = P D m P −1 . Et si D = diag(λ1 ,. . . ,λn ) alors D m = diag(λm ,. . . ,λm ). 1 n 3. 3.1 Trigonalisation Définition Un endomorphisme f ∈ L(E) est trigonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure. Une matrice carrée A est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure

La somme des sous-espaces propres pour f est égale à E. 4. La somme des dimensions des sous-espaces propres pour f est égale à dim E. Les propriétés ci-contre sont deux à deux équivalentes. E : espace vectoriel de dimension finie f ∈ L( E) Trigonalisation Soit f ∈ L( E), les deux propriétés suivantes sont équivalentes : 1. f est trigonalisable 2. χ f est scindé sur K Drapeau ∀i ∈ {1, . . . , n}, dim( Ei ) = i ∀i ∈ {1, . . . , n − 1}, Ei ⊂ Ei+1 E : un K-espace-vectoriel ( E1 , . . . , En ) : famille

conçus, sans grande difficulté théorique, de telle sorte qu’un candidat sérieusement préparé soit en mesure d’aborder l’ensemble des questions. Mathématiques 148 PROGRAMME 1) Algèbre : réduction des endomorphismes, diagonalisation et trigonalisation, systèmes récurrents et différentiels, dualité, formes bilinéaires et quadratiques, orthogonalisation de Schmidt, formes hermitiennes et endomorphismes unitaires, produit mixte et produit vectoriel. 2) Analyse : espaces métriques, espaces vectoriels

un rôle essentiel. Le caractère effectif de la procédure présentée ci-dessous conforte l’idée que la décomposition de Jordan est bien un résultat central. On peut toujours la calculer, alors que le calcul de la forme de Jordan (de même que la trigonalisation) d’une matrice carrée nécessite la connaissance des ses valeurs propres, ce qui mène à un calcul impossible à réaliser sauf valeur propre évidente pour A ∈ Mn (K), n ≥ 5. Notons que cet algorithme, s’il est bien connu (on le trouvera par exemple

réelles semblables sur (x2 + 1) Soient A, B ∈ Mn (R) semblables sur (x2 + 1) : Il existe P, Q ∈ Mn (R) telles que : 1. Montrer que : ∀ λ ∈ R, (P + λ Q)A = B(P + λ Q). 2. En déduire que A et B sont semblables sur R. [003577] Exercice 3578 Trigonalisation de matrices   −1 2 0 2 −3 et ϕ l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A. Soit A =  2 −2 2 1 1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable. 2. Chercher deux vecteurs propres de A linéairement indépendants. 3. Compléter ces vecteurs en une

(R) semblables sur (x2 + 1) : Il existe P, Q ∈ Mn (R) telles que : 1. Montrer que : ∀ λ ∈ R, (P + λ Q)A = B(P + λ Q). 2. En déduire que A et B sont semblables sur R. 112 P + iQ ∈ GLn ((x2 + 1)) (P + iQ)A = B(P + iQ). [003577] Exercice 3578 Trigonalisation de matrices   −1 2 0 2 −3 et ϕ l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A. Soit A =  2 −2 2 1 1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable. 2. Chercher deux vecteurs propres de A linéairement indépendants. 3. Compléter ces vecteurs en une