Trigonalisation

SYSTEME LINEAIRE Ax=b : un cas simple A est une matrice diagonale  a11   0  0     0  problème 0 0  0    0    0 aii 0 0    0  0   0 0 ann    x1   b1          x  =b   i  i     x  b   n  n solution bi xi = aii Algorithme Fonction x = diago(A,b) pour i = 1 jusqu' à n bi xi ← aii fait , i ∈ [1, n] A est de forme triangulaire  a11    a  i1   a  n1 0 0  0  aii

u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation 2 2 2 2 3 K désigne R ou C, E un K-espace vectoriel . 2.2 Polynôme de matrice 1 Sous espaces stables par un endomorphisme Définition 1 : Soit u ∈ stable) si (E), un sous espace vectoriel F de E est dit stable par u (ou uu(F)

dans la base canonique e est 1 0 1   −1 2 1 . A= 2−m m−2 m 1. Quelles sont les valeurs propres de f ? 2. Pour quelles valeurs de m l’endomorphisme est-il diagonalisable ? 3. On suppose m = 2. Calculer Ak pour tout k ∈ N.   Exercice 4 - Trigonalisation - avec indication - L2/Math Sp´ e Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est donn´e par e 1 0 1   A =  −1 2 1  . 1 −1 1 1. Montrer que f est trigonalisable. 2. Montrer que l’espace propre associ´ ` la valeur propre

est égal au sous-espace propre correspondant. La restriction de f à un sous-espace caractéristique est un endomorphisme de ce sous-espace. La restriction de f − λi Id au sous-espace caractéristique Ker((f − λi Id)αi ) est nilpotente. 2.7 Trigonalisation Un endomorphisme f d’un C-espace de dimension finie est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire. Une matrice carrée est triangulable (ou trigonalisable) si et

restriction de g à Eλ est un endomorphisme de Eλ qui est de dimension finie non nulle. Cette restriction admet donc une valeur propre et donc un vecteur propre. Ce vecteur est un vecteur propre commun à f et g. Commençons à construire une base de trigonalisation simultanée de f et g. Soit x un vecteur propre commun à f et g. On complète la famille libre (x) en une base B = (x, ...) de E. Dans la base B, les matrices M et λ × µ × N de f et g s’écrivent respectivement M = et N = où M1 et N1 sont de format

propres pour tous les elements de D (on fera un raisonnement par recurrence sur n). (b) Soit T une partie non vide de L(E ) telle que tous les elements de T sont trigonalisables et 8(u; v) 2 T 2; u v = v u. Montrer qu'il existe une base commune de trigonalisation pour tous les elements de T . (c) E est un C -espace vectoriel de dimension n. Soit (u1; : : :; un) une famille d'endomorphismes nilpotents de E qui commutent deux a deux. Montrer n Y que ui = 0. 174. (a) Un element d'un sous-groupe ni7 de GLn

2.10.1 Position du problème 2.10.2 Résolution dans le cas d’un système de Cramer 68 69 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 73 3.1 Éléments propres 74 3.2 Polynôme caractéristique 79 3.3 Diagonalisabilité 86 3.4 Trigonalisation 98 3.5 Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées 106 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 106 109 116 118 CHAPITRE 3 3.6 CHAPITRE 4 4.1 4.2 IV 68 Généralités Polynômes annulateurs Théorème de Cayley et Hamilton Idéaux de K [X]

stable. La matrice de f n’est pas diagonalisable, mais comme son polynôme caractéristique se factorise sur R, elle est trigonalisable, ce qui prouve qu’elle admet un plan stable, le plan engendré par les deux premiers vecteurs d’une base de trigonalisation. Par ailleurs, on a E−1 = ker(A + I) ⊂ ker(A + I)2 ⊂ ker(A + I)3 = R3 , le sous-espace ker(A + I)2 est clairement stable par A car pour tout v ∈ ker(A + I)2 , Av ∈ ker(A + I)2 , en effet (A + I)2 Av = A(A + I)2 v = 0. Démontrons que ce sous-espace

sym´tries, qui e sont toujours diagonalisables, mais ne poss`dent chacune que deux valeurs propres. e (2.9) Si α est l’ordre de multiplicit´ de la valeur propre λ et d la dimension de son sous-espace propre e associ´, alors d ≤ α. e Trigonalisation (2.10) En particulier, si α = 1, c’est ` dire si λ est une valeur propre simple, alors son sous-espace a associ´ est une droite vectorielle. e (4.1) Un endomorphisme u de E (espace de dimension finie) est dit trigonalisable s’il existe

k ∧πu = Pk k ̸= 1, le polynôme minimal de la restriction de u à Ek = ker Pk k (u) β est Pk k (exercice 17.5). En utilisant le théorème de décomposition des noyaux, on obtient les critères de diagonalisation (voir aussi le théorème 18.7) et de trigonalisation suivants. Théorème 17.7 Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. l'endomorphisme u est diagonalisable ; 2. il existe un polynôme annulateur de u qui est scindé à racines simples ; 3. le polynôme minimal πu est scindé à racines simples