2012-2013
Spécialité Mathématiques
Term ES

E. Les graphes probabilistes
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Présentation
Définition 1 Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel :
• il y a au plus un arc d’un sommet à l’autre ;
• la somme des poids des arcs issus d’un même sommet est égale à 1.

REMARQUES :
1. Les poids des arcs sont alors des probabilités (nombres réels compris entre 0 et 1).
2. Un graphe probabiliste indique les différents états possibles d’un système (sommets du graphe) et les probabilités de passage d’un état à l’autre (poids des arcs).
Exemple 1
• Le graphe n°1 est un graphe probabiliste d’ordre 2.
• Le graphe n°2 est un graphe probabiliste d’ordre 3.
• Le graphe n°3 n’est pas un graphe probabiliste car la somme des poids des arcs issus du sommet C est égale à 0,9 et non à 1.

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État probabiliste et matrice de transition
Définition 2
Soit une expérience aléatoire à deux issues possibles A et B.
A chacune de ces issues est affectée une probabilité, pA et pB .
Lorsque l’on répète cette expérience, dans les mêmes conditions, on se retrouve après chaque réalisation dans un état donné. Cet état à l’issue de chacune des réalisations de l’expérience est appelé état probabiliste.
Il peut être représenté par une matrice ligne Pn = an bn qui traduit la probabilité d’obtenir l’issue
A ou l’issue B après n réalisation de l’expérience aléatoire.
On a an + bn = 1, pour tout entier naturel n.

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REMARQUE :
On généralise sans difficulté cette définition à une expérience aléatoire ayant un nombre n fini d’issues possibles (n ≥ 2).
Définition 3
Soit G un graphe probabiliste d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n.
La matrice de transition M de G est la matrice carrée d’ordre n telle que mij est égal à la probabilité portée par l’arc reliant le sommet i au sommet j s’il existe et 0 sinon.
REMARQUE :
La matrice de transition M permet d’étudier l’évolution du système que schématise le graphe probabiliste.