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4 heures

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2014

Mathématiques 1

L’objet de ce problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices.
Dans tout le problème, on fixe un entier 𝑑 ∈ ℕ∗ et on note ℳ𝑑 (ℝ) (respectivement ℳ𝑑 (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille 𝑑 × 𝑑. Si 𝑖 et 𝑗 sont deux entiers entre 1 et 𝑑, on note 𝐴𝑖,𝑗 le coefficient placé ligne 𝑖 et colonne 𝑗 dans la matrice 𝐴. On rappelle que 𝐴 0 = 𝐼𝑑 . On note Tr(𝐴) la trace de la matrice 𝐴.
Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V.

I Une norme utile sur ℳ𝑑 (ℝ)

I.A –
Montrer que, pour tout polynôme 𝑃 ∈ ℂ[𝑋], l’application 𝑓𝑃 : 𝐴 ↦ 𝑃 (𝐴) est une fonction continue de ℳ𝑑 (ℝ) dans ℳ𝑑 (ℂ).
I.B –
Montrer que l’application (𝐴, 𝐵) ↦ Tr( 𝑡𝐴 × 𝐵) est un produit scalaire sur l’espace ℳ𝑑 (ℝ).
Dans toute la suite du problème, on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire.
I.C –
Pour tous entiers 𝑖, 𝑗 entre 1 et 𝑑 et toute matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑑 (ℝ), comparer |𝐴𝑖,𝑗 | et ‖𝐴‖.
I.D –
I.E –

Montrer que : ∀(𝐴, 𝐵) ∈ ℳ𝑑 (ℝ)2 , ‖𝐴 × 𝐵‖ ⩽ ‖𝐴‖ ⋅ ‖𝐵‖.
Pour 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝐴 ∈ ℳ𝑑 (ℝ), comparer ‖𝐴 𝑛 ‖ et ‖𝐴‖ 𝑛 .

II Séries entières de matrices
Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes 󰞉 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 de rayon de convergence 𝑅
𝑛⩾0

strictement positif, éventuellement égal à +∞.
II.A –

+∞

Soit ℬ = {𝐴 ∈ ℳ𝑑 (ℝ), ‖𝐴‖ < 𝑅}. Montrer que l’application 𝜑 : 𝐴 ↦ 𝜑(𝐴) = 󰞉 𝑎𝑛 𝐴 𝑛 est définie et
𝑛=0

continue sur ℬ.
II.B – Soit 𝐴 ∈ ℳ𝑑 (ℝ) une matrice non nulle telle que ‖𝐴‖ < 𝑅.

II.B.1) Établir l’existence d’un entier 𝑟 ∈ ℕ∗ tel que la famille (𝐴 𝑘 )0⩽𝑘⩽𝑟−1 soit libre et la famille (𝐴 𝑘 )0⩽𝑘⩽𝑟 soit liée.
II.B.2) Pour 𝑛 ∈ ℕ, montrer l’existence et l’unicité d’un 𝑟-uplet (𝜆0,𝑛 , …, 𝜆𝑟−1,𝑛 ) dans ℝ 𝑟 tel que
𝑟−1

𝐴 𝑛 = 󰞉 𝜆𝑘,𝑛 𝐴 𝑘
𝑘=0

II.B.3) Montrer qu’il existe une constante 𝐶 > 0 telle que :
∀𝑛 ∈ ℕ,

𝑟−1

󰞉 |𝜆𝑘,𝑛 | ⩽ 𝐶‖𝐴