E.P.I.T.A.
Epreuve optionnelle de mathématiques (2h)
Le plan 2 étant muni de sa norme euclidienne usuelle ° . ¥, on rappelle que :
- la boule ouverte de centre a e 2 et de rayon r > 0 est : BHa, rL = 9x e 2 ë °x - a¥ < r=.

- la boule fermée de centre a e 2 et de rayon r > 0 est : B f Ha, rL = 9x e 2 ë °x - a¥ § r=.
On considère un nuage K constitué de n points m1 , ... , mn (n ¥ 2) de ce plan euclidien 2 , et on se propose d'établir l'existence et l'unicité d'une boule fermée de rayon minimal contenant ce nuage K, puis de déterminer un algorithme permettant de l'obtenir pratiquement.
Pour tout x e 2 , on convient de poser : rHxL = max 8 °mk - x¥ ê 1 § k § n <.
Ainsi, B f Hx, rHxLL est la plus petite boule fermée de centre x contenant le nuage de points K.
1°) Question préliminaire
Le plan euclidien 2 est rapporté à un repère orthonormé direct HO; e1 , e2 L.
On considère un réel R > 0, un nombre réel q tel que 0 § q < p ê 2, les points A d'affixe R ei q et B d'affixe R e-i q , et le point WHtL de coordonnées Ht, 0L où t > 0.
a) Calculer la longueur RHtL = °W HtL A¥ = °W HtL B¥ et montrer que RHtL < R pour t assez petit.
b) En déduire que si le réel t est choisi strictement positif et assez petit, alors la boule fermée
B f HWHtL, RHtLL de centre WHtL et de rayon RHtL vérifie les trois propriétés suivantes :
1. son rayon RHtL est strictement inférieur à R.
2. tous les points d'affixe R ei a avec -q § a § q sont dans la boule B f HWHtL, RHtLL.
3. il existe un réel ε vérifiant 0 < ε < R tel que tous les points situés dans la boule fermée de centre O et de rayon R - ε sont dans la boule B f HWHtL, RHtLL.
2°) Etude de la fonction x ö rHxL = max 8 °mk - x¥ ê 1 § k § n <
a) Etablir l'implication suivante pour tout couple Hx, yL d'éléments de 2 :
" m e 2 , °m - x¥ § rHxL ï °m - y¥ § rHxL + °x - y¥.
En déduire l'inclusion : B f Hx, rHxLL Õ B f Hy, rHxL + °x - y¥L.

b) En déduire que : rHyL § rHxL + °y - x¥, puis que x ö rHxL est 1-lipschitzienne sur 2 .
3°)