Centrale 2015 - PSI 1 un corrigé
I. Etude d’une suite récurrente
I.A
1. f ′ étant positive, f croit sur [0, 1]. Montrons alors par récurrence que
∀n ∈ N, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1
- Initialisation : c’est vrai au rang 0 car u0 = 0 et u1 = f(0) ∈ [0, 1].
- Hérédité : soit n ≥ 0 tel que le résultat est vrai jusqu’au rang n. On a alors 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1 et par croissance de f sur [0, 1], un+2 − un = f(un+1)− f(un) ≥ 0
En outre, comme [0, 1] est stable par f , un, un+1 ∈ [0, 1] entrâıne un+1 = f(un), …afficher plus de contenu…

On en déduit que xf ∈ [0, a] et donc que xf ∈ [0, 1[
I.C Notons toujours g(x) = f(x)− x. On a g ∈ C2([0, 1]) et g′(x) = f(x)− 1, g′′(x) = f ′′(x) ≥ 0 ; comme g′′(1) = f ′′(1) > 0, g′′ (qui est continue) est même strictement positve sur un intervalle
[a, 1[. g′ est donc croissante sur [0, 1] et strictement croissante sur [a, 1]. Comme g′(1) = m−1 ≤
0, g′ est négative sur [0, 1] et même strictement négative sur [a, 1[. g est donc décroissante sur
[0, 1] et même strictement décroissante sur [a, 1]. En particulier, ∀x ∈ [a, 1[, g(x) > 0 et
∀x ∈ [0, a], g(x) ≥ g(a) > 0. g ne s’annule donc pas sur [0, 1[ et ceci impose xf = 1
1Sur [a, 1[, f ′′ est strictement positive et f ′ est donc strictement croissante sur [a, 1]. …afficher plus de contenu…

D’après le théorème de Césaro, lim n→+∞
1
n n−1∑ k=0
(
1 εk+1 − 1 εk )
=
f ′′(1)
2
Dans la somme, les termes se télescopent et ce qui précède s’écrit
1
n
(
1 εn − 1 ε0 )
=
f ′′(1)
2
+ o(1)
1
nε0 étant de limite nulle est o(1) et ce qui précède s’écrit aussi
1
nεn
=
f ′′(1)
2
+ o(1) ou encore (puisque f ′′(1) 6= 0) nεn ∼ f ′′(1)
2 . On peut passer à l’inverse dans les équivalent et multiplier les équivalents. On a ainsi
1− un = ε ∼ 2 nf ′′(1)
I.E
1. Le même calcul que ci-dessus donne εn+1 = εn
(
m− εn
2
f ′′(1) + o(εn)
)
2On en déduit que lim n→+∞
|εn+1|
|εn|
= |m| = m ∈ [0, 1[
Par règle de