Liban 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite de nombres complexes (zn ) définie par z0 =

√
3 − i et pour tout entier naturel n :

zn+1 = (1 + i)zn .
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |.
1) Calculer u0 .
2) Démontrer que (un ) est la suite géométrique de raison

√
2 et de premier terme 2.

3) Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
4) Déterminer la limite de la suite (un ).
5) Etant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que un > p.
Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l’entier n.
Variables :

u est un réel p est un réel n est un entier

Initialisation :

Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 2
Demander la valeur de p

Traitement :

Sortie :

Partie B
1) Déterminer la forme algébrique z1 .
2) Déterminer la forme exponentielle de z0 et 1 + i.
En déduire la forme exponentielle de z1 .
3) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos

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1

π
.
12

c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝

Liban 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
Partie A
√
3

√
3−i =

1) u0 = |z0 | =

2

+ (−1)2 = 2. u0 = 2.

2) Soit n un entier naturel. un+1 = |zn+1 | = |1 + i| × |zn | =

Donc

√
2 un .

12 + 12 un =

la suite (un )n∈N est la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison q =
3) On en déduit que pour tout entier naturel n, un = u0 × qn = 2

√
2

Pour tout entier naturel n, un = 2
4) Puisque

√
2 > 1, on sait que

√
2

lim

n→+∞

√

2.

n

.
√
2

n

.

n

= +∞. Puisque 2 > 0, on a alors

lim un = lim 2

n→+∞

n→+∞

√
2

n

= +∞.

lim un = +∞.

n→+∞

5) Algorithme complété.
Variables :

u est un réel p est un réel n est un entier