29402 Td1ben.pdf

Pages: 6 (1345 mots) Publié le: 6 juin 2012
TD 1: Analyse en Composantes Principales
1 Questions de cours

Soit un tableau de données, Xn×p contenant les observations de n individus statistiques sur p variables quantitatives continues. L'espace des colonnes Rn est muni d'une métrique D = diag(. . . , pi , . . .) des poids des individus. L'espace des lignes Rp est muni d'une métrique M .
1.1 Généralités

1. Sur quel type de donnéespeut-on réaliser une ACP? 2. Soit un tableau de données comprenant en ligne diérents pays et en colonne diérents indicateurs économiques. Quels sont les objectifs d'une ACP sur un tel jeu de données? 3. Dans quel espace vivent les individus? 4. Dénir l'inertie? Que vaut l'inertie totale du nuage quand les variables sont centrées réduites? 5. Dessiner un poisson en maximisant l'inertie projetée.6. Quand est il indispensable de réduire les variables ? Simuler et commenter:
library(mvtnorm) Z=rmvnorm(n=200,rep(0,3),sigma=diag(3)) X1=Z[,1] X2=X1+0.001*Z[,2] X3=10*Z[,3] don=cbind.data.frame(X1,X2,X3) library(FactoMineR) acp=PCA(don,scale=F) acp=PCA(don,scale=T)

1.2

Mise en oeuvre de l'ACP

7. Soit une ACP du triplet (X, M, D). Les axes principaux sont les vecteurs propres de V M = XDXM sont les vecteurs propres de W D = XM X D constituent un repère des individus constituent un repère des variables 8. Soit une ACP de (X, M, D). Les composantes principales sont les vecteurs propres de V M = X DXM sont les vecteurs propres de W D = XM X D constituent un repère des individus constituent un repère des variables sont des variables synthétiques: combinaisons linéaires des variablesinitiales 9. Dans quel espace vit le vecteur de coordonnées des individus sur un axe? 1

Rn Rp
10. Soit une ACP de (X, M, D), la représentation d'un individu dans le plan 1-2 est une projection d'un vecteur de R2 une projection d'un vecteur de Rp une projection d'un vecteur de Rn

11. Dans quel espace vit le vecteur de coordonnées des variables?

Rn Rp

12. La coordonnée d'une variablek sur l'axe c1 / λ1 représente (quand les variables sont centrées réduites) : le cosinus de l'angle entre c1 et k le coecient de corrélation entre c1 et k 13. Soient les valeurs propres {λα } que l'on obtient lors d'une ACP de (X, M, D). Ce sont les valeurs propres de V M Ce sont les valeurs propres de W D Ce sont les inerties des axes α
1.3 Aides à l'interprétation



14. Dénir lacontribution d'un individu à la création de l'axe et sa qualité de représentation. 15. Dénir la notion d'individus et de variables supplémentaires.
1.4 Questions diverses pour voir si on a bien compris

16. VRAI OU FAUX La variance des coordonées des individus sur le premier axe factoriel est plus élevée que la variance des coordonnées sur le deuxième axe. 17. VRAI OU FAUX Une ACP normée est eectuéesur un trés grand nombre de variable : le pourcentage d'inertie obtenu sur le premier plan factoriel est nécessairement faible. 18. Quatre jeux de données ont été utilisés et sur chacun d'eux, une ACP normée a été construite. On donne la matrice de corrélations des variables pour chaque jeux de données ainsi qu'un extrait des résultats de chaque ACP. Retrouvez quelles matrices de corrélationcorrespond à quels résultats de l'ACP. Justiez vos réponses.
Matrice de corrélation A Matrice de corrélation B

1.00 -0.46 0.54 -0.10 -0.14 1.00 0.59 0.53 0.56 0.56

-0.46 1.00 -0.55 -0.14 -0.09

0.54 -0.55 1.00 0.04 0.04

-0.10 -0.14 0.04 1.00 0.94

-0.14 -0.10 0.04 0.94 1.00

1.00 0.95 0.95 0.94 0.94 1.00 -0.01 0.04 -0.06 0.07

0.95 1.00 0.94 0.95 0.95

0.95 0.94 1.00 0.93 0.920.94 0.95 0.93 1.00 0.94

0.94 0.95 0.92 0.94 1.00

Matrice de corrélation C

0.59 1.00 0.55 0.59 0.72

0.53 0.55 1.00 0.47 0.50

0.56 0.59 0.47 1.00 0.51

0.56 0.72 0.50 0.51 1.00

Matrice de corrélation D

-0.01 1.00 -0.07 0.09 0.01

0.04 -0.07 1.00 0.23 0.29

-0.06 0.09 0.23 1.00 0.17

0.07 0.01 0.29 0.17 1.00

2

Axe 1 2 3 4 5

Valeur Propre 4.77 0.08 0.06 0.05...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !