8) Expression d'une fonction booléenne
Soit la fonction définie par le tableau

x y z
F(x,y,z)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1

On peut écrire la fonction sous la forme:

F(x,y,z) = x.y.z + x.y.z + x.y.z

Une expression est sous forme de somme canonique si toutes les variables (sous forme vraie ou fausse) figurent dans chaque terme et si dans chacun de ses termes elles sont toutes reliées par l'opérateur ET (.)

Chaque terme est alors désigné sous le nom de minterm.

A = x.y.z + x.y.z + x.y.z

Une expression est sous forme de produit canonique si toutes les variables (sous forme vraie ou fausse) figurent dans chaque terme et si dans chacun de ces termes elles sont toutes reliées par l'opérateur OU (+)

Chaque terme est alors désigné sous le nom de maxterm.

A = (x+y+z).(x+y+z)

9) Simplification algébrique d'une fonction booléenne

Il s'agit de trouver l'expression la plus simple d'une fonction, c'est à dire l'expression la plus courte et faisant apparaître le moins de variables possibles.

Exemple:

F(x,y) = x.y + x.y + x = x.(y +y) + x = x + x = 1

Pour obtenir la forme la plus simplifiée possible d'une fonction, on utilise les propriétés et les théorèmes déjà vus.
EXERCICES

1) Quelle est la fonction ayant la table de vérité suivante ?

X y z
F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0

2) Simplifier les fonctions suivantes:

F(x,y,z) = x.y.z + x.y.z + x.y.z + x.y.z

F(x ,y ) = x.y + x.y + x.y + x.y

F(x,y,z) = x + z + y.(x+z) + (x+z).(x+y+z)

3) Composer la table de vérité d'une fonction :

Comportant les variables x,y,z dont la valeur n'est 1 que s'il y a un nombre impair de variables égales à 1.
Indiquer sa forme canonique.

4) Donner l'expression booléenne simplifiée de la fonction

Correspondant à la proposition "l'intéressé peut souscrire à l'avenant".

Pour pouvoir souscrire à l'avenant, il faut remplir les conditions suivantes:
a) avoir souscrit la police "vie", être de sexe