9 estimations

Opération et systèmes de décision
Faculté des Sciences de l’Administration

MQT-21919
Probabilités et statistique

Estimation par intervalle

Chapitre 8

Lectures


Volume obligatoire: Chapitre 8



Volume recommandé, Statistique en gestion et
économie: sections 4.4.2 et 4.4.4 ainsi que pages
227-242

Résumé des distributions

x

d’échantillonnage de


Si n est grand (plus grand que 30),alors x suit 2
x
 x
une loi Normale et:
2
x  N ( , )
– Si la valeur de  est connue alors:
n
2
– Si la valeur de  est inconnue alors: x  N (  , s )

n



Si n est petit (plus petit que 30), et X suit une loi
normale, et:
2
– Si la valeur de  est connue alors:
– Si la valeur de  est inconnue alors:


x  N ( , )
n
x
 t( n  1 )
s
n

L’estimation par intervalle de
confiance


Lesestimations ponctuelles, bien qu’utiles, ne
fournissent aucune information concernant la
précision des estimations c’est-à-dire qu’elles ne
tiennent pas compte de l’erreur possible dans
l’estimation, erreur attribuable aux fluctuations
d’échantillonnage.

L’estimation par intervalle de
confiance
Population
Moyenne, ,
est inconnue
Échantillon

Échantillon aléatoire
Moyenne = 50

Je suis confiant à95% que  est
entre 40 & 60.

L’estimation par intervalle de
confiance


Consiste à construire, autour de l’estimation
ponctuelle, un intervalle qui aura une grande
probabilité (1- ) de contenir la vraie valeur du
paramètre.

L’estimation par intervalle de
confiance
Forte probabilité que le paramètre se trouve
quelque part à l’intérieur de l’I. de C.
Valeur de la
statistique
Intervalle deconfiance
calculée à
partir de
l’échantillon
Limite inférieure

Limite supérieure

Affirmations à propos de l’erreur
d'échantillonnage


La connaissance de la distribution
d’échantillonnage de xnous permet de tirer des
conclusions sur l’erreur échantillonnale même si on
ne connaît pas la vraie valeur de  



La probabilité que l’intervalle de confiance
contienne la vraie valeur du paramètre  estde 1- .
– 1- is est le coefficient de confiance
– (1-)*100% est le seuil de confiance

La marge d’erreur E

Intervalle de confiance

Limite inférieure

Valeur de la
statistique x

Limite supérieure

La marge d’erreur E (précision)
La moitié de la largeur de l’intervalle

Estimation par intervalle de la moyenne de la
population: grand échantillon

Lorsque la taille de l'échantillon est grande(n ≥ 30) et la variance de la population de X
est connue, on obtient un intervalle de confiance pour  au seuil de confiance 1-  en
utilisant l’équation suivante:



 
 1  
P  x  z 2 .
  x  z 2 .
n
n

2

Ça vient du fait que: x  N (  ,
)
Ceci est aussi vrai pour de petits échantillons lorsque
n la variable aléatoire X suit une loi
normale et que la variance de X est connue.Estimation par intervalle de la moyenne
de la population: grand échantillon









Lorsque (n ≥ 30) et  est connu, l’intervalle de confiance
pour  est


 x  z / 2
1 - est le coefficient de confiance

n

z/2 est la valeur de z qui correspond à une surface de  /2 sous la
queue supérieure de la distribution de la loi normale centrale
réduite
Cet intervalle a une probabilité de1- de contenir le vrai
paramètre 
Ceci est aussi vrai pour de petits échantillons lorsque la variable aléatoire X
suit une loi normale et que la variance de X est connue.

La marge d'erreur E (précision)


La précision de l’estimation : Il y a une probabilité de 1 -  que la valeur de la moyenne échantillonnale

fournisse une marge d’erreur de

ou moins.

z/2 est la valeur telle que
P(Z>z/2)= /2 où Z suit
une loi normale centrée réduite

x
z /2  x

Distribution
échantillonnale
de x

/2

-z/2

1 -  de toutes
les valeurs dex



/2

z/2

x

Exemple: U-Mart
U-Mart a 260 magasins à travers le pays. Ils
évaluent le potentiel d’un emplacement d’un
nouveau magasin basé sur le revenu annuel
moyen des gens qui composent le marché ciblé
de ce nouveau magasin. On sait que  = $5...