TD n° 5 Déterminants de matrices carrées

EXERCICE 1 ▪ Dét(I3) = 1. ▪ Dét(M1) = (– 1)dét = (– 1)(– 1)dét dét(I3) = 1, car la fonction

déterminant est une forme alternée. ▪ Dét(M2) = 3dét(I3) = 3, car la fonction déterminant est une forme multilinéaire et que la matrice M2 est la matrice I3 à ceci près que la première colonne a été multipliée par 3. ▪ Dét(3I3) = 3 Dét(I3) = 27. ▪ C’est la même chose pour les matrices: N1 = , N2 = et N3 =

Comme N1 a une colonne de 0, on a: dét(N1) = 0. Comme N2 a deux colonnes identiques, on a : dét(N2) = 0. Comme les colonnes de N3 sont liées (puisque la troisième colonne de cette matrice est égale à moins deux fois la première), on a : dét(N3) = 0.

EXERCICE 2 1. A= , B1 = , B2 = et B3 =

La matrice B1 est identique à la matrice A à ceci près que les deux premières colonnes ont été permutées. On a donc: dét(B1) = – dét(A), car la fonction déterminant est alternée. La matrice B2 estidentique à la matrice B1 à ceci près que les deux premières lignes ont été permutées. On a donc: dét(B2) = – dét(B1) = dét(A). La matrice B3 est identique à la matrice A à ceci près que la première colonne a été multipliée par 2. On a donc: dét(B3) = 2dét(A), car la fonction déterminant est multilinéaire. 2. Le déterminant d’une matrice ne changeant pas lorsque l’on remplace une de ses colonnes par elle-même plus a fois une autre colonne de la même matrice, on a : dét(A) = dét(P1) = dét(P2) = dét(P3). La fonction déterminant étant multilinéaire, on a, par ailleurs: dét(P3) = 2dét = 2(2)dét = é = 5dét(I3).

Comme dét(I3) = 1, on en conclut que : dét(A) = dét(P1) = dét(P2) = dét(P3) = 5.

EXERCICE 3 1. • Dét(M1) = 2(2) – (1)(3) = 1. • Dét(M2) = 0(0) – (– 2)(– 3) = – 6. • Dét(M3) = dét • Dét(M4) = dét • Dét(M5) = dét • Dét( ) = dét(M5) = = 0 (deux dernières colonnes liées). = dét = dét . .

, car le déterminant d’une matrice est égal à celui de sa transposée. é = 0 (deux colonnes liées). é

• Dét(M6) = dét = 6dét n • Dét(M7) = λi .