MATHÉMATIQUES I

Filière MP

MATHÉMATIQUES I
On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensemble B des fonctions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c’est un espace vectoriel I sur C . Il est muni de la norme uniforme définie par I x ∞

= sup x ( t ) t ∈ IR

Pour tout ω appartenant à IR , on note e ω la fonction définie sur IR par la iωt formule : e ω ( t ) = e . On note U la fonction définie par U ( t ) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les sous-espaI ces vectoriels considérés seront des C -espaces vectoriels. On notera x∗ la conjuguée complexe de x , c’est-à-dire la fonction : t a x ( t ) .

Partie I Soit x une fonction appartenant à nombre

B . On appelle moyenne de x , s’il existe, le ∫0 x ( t ) dt
T

1 M ( x ) = lim M T ( x ) avec M T ( x ) = --T T→∞

(1)

On dira alors que la fonction x est moyennable. I.A I.A.1) Montrer que M T est une forme linéaire sur B , que l’ensemble des fonctions moyennables M 1 est un sous-espace vectoriel de B , et que M est une forme linéaire sur M 1 . On notera de façon équivalente Mx ou M ( x ) cette moyenne. I.A.2) Vérifier que M T et M sont lipchitziennes pour .
∞.

I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation : si τ ∈ IR et x ∈ M 1 on pose x τ ( t ) = x ( t – τ ) , alors x τ est moyennable et Mx = M x τ . I.C I.C.1) Soit x une fonction de B de période P ( P > 0 ). Montrer que pour tout P = ∫0 x ( t ) dt . En déduire que x est moyennable, et que M ( x ) est ∫ égale à la moyenne sur n’importe quel intervalle de longueur P . a ∈ IR , a+P x ( t ) dt a

Concours Centrale-Supélec 2005

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Filière MP

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I.C.2) I.C.3) I.C.4)
M ( e0 ) = 1 .

En particulier montrer que M ( e ω ) = 0 pour ω réel non nul, et Montrer que si lim x ( t ) = c , alors x est moyennable et M ( x ) = c . t→∞ i ln ( t + 1 )

Soit x 0 la fonction définie par x 0 ( t ) = U ( t )e . Vérifier que x 0 ∈ B , calculer M T ( x 0 ) . Examiner le comportement de M T (