Aicha

Pages: 8 (1831 mots) Publié le: 4 avril 2012
MATHÉMATIQUES I

Filière MP

MATHÉMATIQUES I
On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensemble B des fonctions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c’est un espace vectoriel I sur C . Il est muni de la norme uniforme définie par I
x


= sup x ( t )
t ∈ IR

Pour tout ω appartenant à IR , on note e ω la fonction définie sur IR par la iωt formule : e ω ( t ) =e . On note U la fonction définie par U ( t ) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les sous-espaI ces vectoriels considérés seront des C -espaces vectoriels. On notera x∗ la conjuguée complexe de x , c’est-à-dire la fonction : t a x ( t ) .

Partie I Soit x une fonction appartenant à nombre

B . On appelle moyenne de x , s’il existe, le ∫0 x ( t ) dt
T

1 M ( x ) = lim M T ( x ) avec M T ( x ) =--T T→∞

(1)

On dira alors que la fonction x est moyennable. I.A I.A.1) Montrer que M T est une forme linéaire sur B , que l’ensemble des fonctions moyennables M 1 est un sous-espace vectoriel de B , et que M est une forme linéaire sur M 1 . On notera de façon équivalente Mx ou M ( x ) cette moyenne. I.A.2) Vérifier que M T et M sont lipchitziennes pour .
∞.

I.B - Montrer que la moyenne estinvariante par translation : si τ ∈ IR et x ∈ M 1 on pose x τ ( t ) = x ( t – τ ) , alors x τ est moyennable et Mx = M x τ . I.C I.C.1) Soit x une fonction de B de période P ( P > 0 ). Montrer que pour tout P = ∫0 x ( t ) dt . En déduire que x est moyennable, et que M ( x ) est ∫ égale à la moyenne sur n’importe quel intervalle de longueur P .
a ∈ IR ,
a+P x ( t ) dt a

ConcoursCentrale-Supélec 2005

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I.C.2) I.C.3) I.C.4)
M ( e0 ) = 1 .

En particulier montrer que M ( e ω ) = 0 pour ω réel non nul, et Montrer que si lim x ( t ) = c , alors x est moyennable et M ( x ) = c .
t→∞ i ln ( t + 1 )

Soit x 0 la fonction définie par x 0 ( t ) = U ( t )e . Vérifier que x 0 ∈ B , calculer M T ( x 0 ) . Examiner le comportement de M T ( x0 ) lorsque T → ∞ , et en déduire que x 0 n’est pas moyennable. I.D - La fonction x est dite de carré moyennable si T a M T x admet une limite lorsque T tend vers + ∞ . Cette limite est appelée moyenne quadratique de x :
Mx
2 2

= lim M T ( x )
T→∞

2

(2)

On notera M 2 l’ensemble des fonctions de B de carré moyennable. I.D.1) Montrer que toute fonction qui tend vers 0 à l’infini estaussi de moyenne quadratique nulle. 2 2 I.D.2) Pour x, y ∈ M 2 , donner une majoration de M T ( x ) – M T ( y ) et 2 2 M x – M y en fonction de x ∞ , y ∞ , x – y ∞ . Montrer, à l’aide de x 0 et U , que M 2 n’est pas un espace vectoriel. I.E - On dira que deux fonctions, x, y de M 2 sont comparables si existe I.D.3)
= M ( x y∗ ) = lim M T ( x y∗ )
T→∞

(3)

I.E.1) Si E est un espace vectorielinclus dans M 2 , montrer que deux fonc2 2 tions x, y ∈ E sont comparables (développer x + y et x + iy ). Il en résulte que sur E , ( x, y ) a est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier
M x+ y
2

= M x + M y + 2 Re

2

2

(4)

I.E.2) On dira que deux fonctions x, y ∈ 2 Que vaut alors M x +y ? I.E.3)

M2 , sont orthogonales si

= 0.

Écrire l’inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).

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I.F - Soit P un réel strictement positif. Montrer que l’ensemble des fonctions P périodiques de B est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables. I.G - Soit
N

P

= {x : x( t ) =

k=1

∑ ck e

iω k t

N ∈ IN, c k ∈ C, ω k ∈ IR distincts } I

l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que P est stable par produit de fonctions, et que l’application ( x, y ) a définit un produit scalaire sur P . En particulier, pour x = I.H - Soit une suite x n ∈...
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