Eléments de logique
Exercice 1 Décrire les parties de ℝ dans lesquelles évoluent x pour que les assertions suivantes soient vraies : a) (x > 0 et x < 1) ou x = 0 b) x > 3 et x < 5 et x ≠ 4 c) (x ≤ 0 et x > 1) ou x = 4 Exercice 2 d) x ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 .

Etant donnés P , Q et R trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité : a) P ou (Q et R ) ∼ (P ou Q ) et (P ou R ) b) non(P ⇒ Q ) ∼ P et non(Q ) .

Exercice 3

On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d’entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde. Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l’intrus ? On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une. Comment, à l’aide d’une balance à deux plateaux, démasquer l’intrus en trois pesées ?

Exercice 4

Quantificateurs
Exercice 5 Soit I un intervalle de ℝ et f : I → ℝ une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes : a) ∃C ∈ ℝ , ∀x ∈ I , f (x ) = C b) ∀x ∈ I , f (x ) = 0 ⇒ x = 0 c) ∀y ∈ ℝ , ∃x ∈ I , f (x ) = y d) ∀x , y ∈ I , x ≤ y ⇒ f (x ) ≤ f (y ) e) ∀x , y ∈ I , f (x ) = f (y ) ⇒ x = y . Exercice 6 Soit I un intervalle de ℝ et f : I → ℝ une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes : a) « la fonction f s’annule » b) « la fonction f est la fonction nulle » c) « f n’est pas une fonction constante » d) « f ne prend jamais deux fois la même valeur » e) « la fonction f présente un minimum » f) « f prend des valeurs arbitrairement grandes » g) « f ne peut s’annuler qu’une seule fois ». Soit I un intervalle de ℝ non vide et f : I → ℝ une fonction à valeurs réelles définie sur I . Exprimer les négations des assertions suivantes : a) ∀x ∈ I , f (x ) ≠ 0 b) ∀y ∈ ℝ , ∃x ∈ I , f (x ) = y c) ∃M ∈ ℝ, ∀x ∈ I , f (x ) ≤ M d) ∀x , y ∈ I , x ≤ y ⇒ f (x ) ≤ f (y ) e) ∀x , y ∈ I , f (x ) = f (y ) ⇒ x = y f) ∀x ∈ I , f (x ) > 0 ⇒ x ≤ 0 . Exercice 8