CHAPITRE 4
Théorème des Résidus

4.1 Résidus
Définition 4.1.1
Soit f : C −→ C une fonction analytique au point z0 , et C = z ∈ C 0 < |z − z0 | < r (Disque troué). On appelle résidu de f au point z0 , le cœfficient a−1 du développement de Laurent de f au voisinage de z0 . Ce nombre est noté Res( f, z0)
Remarque :
Soit
f (z) =

∞ n=−∞ an (z − z0 )n = · · · +

a−1 a−2 +
+ a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·
2
(z − z0 )
(z − z0 )

le développement de Laurent de f au voisinage de z0 , comme ce développement existe toujours pour les fonctions analytiques au voisinage de z0 , donc a−1 existe toujours et est FINI.
Très important :
Dans l’exemple précédent on a trouvé que
∞
∞
(−1)n
(−1)n zn
2
1
1 1 z f (z) =
=
−
= · · · − 2 + − + 2 + · · · . Cela ne n+1 n+1
(z + 1)(z + 3) z 3 z z 3 3 n=0 n=0 signifie pas que Res( f, 0) = 1, car ce développement ne se fait pas au voisinage de 0 mais dans une couronne qui n’est pas un disque troué.
Par contre : f (z) =

2
1
1
=
−
=
(z + 1)(z + 3) z + 1 z + 3

∞ n=0 (−1)n 1 −

1
3n+1

zn =

2 1
− z+ ···
3 3

donne Res( f, 0) = 0.

4.2 Résidu à l’infini
Si f admet un développement de Laurent pour z très grand, alors on peut toujours définir le résidu de f au voisinage de l’infini. Considérons l’expression f (z) dz, si z est
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1
1
au voisinage de l’infini alors se trouve au voisinage de 0. Posons t = ; on a donc z z
1 1 f (z) dz = − 2 f dt, d’où la définition : t t
Définition 4.2.1
Soit f : C −→ C une fonction analytique au point z0 , et C = z ∈ C |z| > R, R > 0 . On
1 1 appelle résidu de f à l’infini, le nombre Res( f, ∞) = Res(g, 0) avec g(z) = − 2 f z z
Remarque 4.2.1
∞

1 1 an f
=−
2 z z zn+2 −∞ n∈Z D’où l’on tire : Res( f, ∞) = −a−1 , et donc :
Posons : f (z) =

an zn =⇒ −

Res( f, 0) + Res( f, ∞) = 0
Remarque 4.2.2 Si f (z) se présente sous la forme f (z) = g

1 alors ; z Res( f, ∞) = −g′ (0)

4.2.1 Points