Algèbre de boole

Pages: 5 (1238 mots) Publié le: 6 janvier 2013
Plan

Algèbre de BOOLE
Introduction

Définition Introduction Fonctions logiques (ET, OU, NON) Règles de l’Algèbre de Boole Théorème de De Morgan Simplification des fonctions logiques

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Définition
Définit en 1847 par Georges Boole (18151864), physicien Anglais
Algèbre applicable au raisonnement logique qui traite des fonctions à variables binaires (deux valeurs). Ne s'applique pas auxsystèmes à plus de deux états d'équilibre. Permet d'étudier les circuits logiques (un système logique sert à modifier des signaux).
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Introduction
L ’algèbre de Boole permet de manipuler des valeurs logiques

Une valeur logique n’a que deux états possibles : Vraie(1) ou Fausse(0). Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pour donner un résultat qui est lui aussi une valeur logiqueExemple : arrêt marche ouvert fermé enclenché déclenché avant arrière vrai faux conduction blocage
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Introduction
La manipulation des valeurs logiques repose sur 3 fonctions (ou opérateurs) logiques de base: ET, OU, NON : A et B ; A ou B ; non A La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs qui sont repérées habituellement 0 ou 1. Se note par une lettre comme en algèbre.Toutes les fonctions logiques sont formées des 3 fonctions de base
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Fonction logique
Résultat de la combinaison (logique combinatoire) d'une ou plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations logique de base :
la valeur résultante (O ou 1 ) de cette fonction dépend de la valeur des variables logiques. Une fonction logique possède une ou des variables logiques d'entrée etune variable logique de sortie. Cette fonction logique se note par une lettre comme en algèbre. Exemple F = (A et B) ou C et (non D)
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Fonctions Logiques
Les fonctions logiques peuvent être représentées par des Tables de vérités La table de vérité permet la connaissance de la sortie (d ’un circuit logique) en fonction des diverses combinaisons des valeurs des entrées
Le nombre de colonnesest le nombre total d'entrées et de sorties Le nombre de lignes est 2N sachant que "N" est le nombre d’entrées,

Table de vérité (exemples)
3 entrées et 1 sortie 4 colonnes et 8 lignes
A 0 0 0 0 1 1 1 1
7

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

Résultat ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
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Exemple: Une fonction de 3 entrées et 1 sortie se représente par une table de 4 colonnes et 8lignes

Fonction logique ET (AND)
Représentation:
F = A * B ou A • B ou AB
Table de vérité Entrée B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Sortie F 0 0 0 1 A B Symbole graphique
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Fonction logique OU (OR)
Représentation:
F=A+B
Table de vérité Entrée B 0 A 0 1 0 1 Sortie F 0 1 1 1 A B Symbole graphique
10

F

0 1 1

F

Fonction logique NON (NOT)
Représentation:
F=A

Règles (ou propriétés) del’algèbre de Boole

Table de vérité Entrée A 0 1 Sortie F 1 0 Symbole graphique
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A

F

Théorème de De Morgan
A+B = A.B Vérification : A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+B 1 0 0 0 A.B 1 0 0 0 A.B = A+B Vérification : A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A.B 1 1 1 0 A+B 1 1 1 0

Simplification des fonctions logiques
Pourquoi ?
Utiliser le moins de composants possibles Simplifier au maximum le schéma de câblage
Ilfaut donc trouver la forme minimale de l ’expression logique considérée

Deux méthodes
Equivalent Equivalent

Algébrique (en utilisant des propriétés et des théorèmes) Graphique (tableaux de Karnaught; ...)
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Exemple
S = A⋅B⋅C + A⋅B⋅ A⋅C
Transformation

Exercice 1

( )

Simplifier les expressions suivantes :

S = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ (A + C ) = A ⋅B⋅C + A ⋅ B⋅A + A ⋅B⋅C = A⋅B⋅C + A ⋅B + A ⋅B⋅C
Variables communes

S = A⋅B + A⋅C⋅ B + B S = A⋅B+ A⋅C S = A⋅ B+C

(

)

( A + B )(A + B )
AB + A + B
15 16

AB + AB

(

)

Exercice 2 Prouver les théorèmes d ’absorption :

Exercice
1.

A.( A + B ) = A

Montrer comment l’opérateur ET peut être obtenu à partir des opérateurs OU et NON. De même pour l’opérateur OU avec les opérateurs ET et NON. On...
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