Planche no 1. Algèbre linéaire I
* très facile

** facile *** difficulté moyenne **** difficile
I : Incontournable

***** très difficile

no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.
Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)].

no 2 (****) :

Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es


pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n /

j=i

Fj ⊂ Fi ).

no 3 (** I) : E = Kn où K est un sous-corps de C.
Soient F = {(x1 , ..., xn ) ∈ E/ x1 + ... + xn = 0} et G = Vect ((1, ..., 1)). Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Préciser le projeté d’un vecteur x de E sur F parallèlement à G et sur G parallèlement à F.
Techniques de démonstration d’indépendance (du no 4 au no 12). no 4 (**) : Les familles suivantes de R4 sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quand ces relations existent.
1) (e1 , e2 , e3 ) où e1 = (3, 0, 1, −2), e2 = (1, 5, 0, −1) et e3 = (7, 5, 2, 1).
2) (e1 , e2 , e3 , e4 ) où e1 = (1, 1, 1, 1), e2 = (1, 1, 1, −1), e3 = (1, 1, −1, 1) et e4 = (1, −1, 1, 1).
3) (e1 , e2 , e3 , e4 ) où e1 = (0, 0, 1, 0), e2 = (0, 0, 0, 1), e3 = (1, 0, 0, 0) et e4 = (0, 1, 0, 0).
4) (e1 , e2 , e3 , e4 ) où e1 = (2, −1, 3, 1), e2 = (1, 1, 1, 1), e3 = (4, 1, 5, 3) et e4 = (1, −2, 2, 0). no 5 (***) :

Montrer que (1,

√ √
2, 3) est une famille libre du Q-espace vectoriel R.

no 6 (**) : Soit f(x) = ln(1 + x) pour x réel positif. Soient f1 = f, f2 = f ◦ f et f3 = f ◦ f ◦ f. Etudier la liberté de
(f1 , f2 , f3 ) dans [0, +∞[[0,+∞ [ . no 7 (**) : no 8 (**I) :

Soit fa (x) = |x − a| pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille (fa )a∈R .
On pose fa (x) = eax pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille de fonctions (fa )a∈R .

no 9 (**) : Montrer que