Algebre
Z ZZ Z Z Z Z Z
Exo7
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile
Exercice 1 ** 1 2 2 Soit A = 2 1 2 . Pour n entier relatif donné, calculer An par trois méthodes différentes. 2 2 1
Correction
[005651]
Exercice 2 ** 3 0 0 Résoudre dans M3 (R) l’équation X 2 = A où A = 8 4 0 . 5 0 1
Correction
[005652]
Exercice 3 ** 3 1 0 Soit A = −4 −1 0 . 4 8 −2 1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable. 2. Déterminer Ker(A − I)2 . a 0 0 3. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme 0 b c 0 0 b 4. Calculer An pour n entier naturel donné.
Correction
[005653]
Exercice 4 *** Soit f qui à P élément de R2n [X] associe f (P) = (X 2 − 1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ?
Correction
[005654]
Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f .
Correction
[005655]
Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format (p, q) et B une matrice de format (q, p). Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA.
1
Correction
[005656]
Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu.
Correction
[005657]
Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0.
Correction
[005658]
Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f g − g f = f . Montrer que f est nilpotent.
Correction