Espace vectoriel
En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.
Étant donné un corpsK, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.
Définitions
Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3 ou celui, C, des complexes (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).
Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :
• une loi interne « + » : E2 → E, appelée addition ou somme vectorielle,
• une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire,
Telles que les propriétés suivantes soient vérifiées.
1. (E,+) est un groupe abélien, autrement dit :
• la loi « + » est commutativeN 1 et associative,
• elle admet un élément neutre, pouvant être noté 0 ou 0E, appelé vecteur nul et
• tout vecteur v a un opposé, noté –v, c'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v et w de E : u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w
0E + v = v u + (–u) = 0E
2. La loi « • » vérifie les propriétés suivantes :
• elle est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E et à droite par rapport à l'addition du corps K,
• elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dans K),
• l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1, est neutre à gauche pour •N 2, c'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v de E et tous scalaires λ, μ : λ•(u + v) = (λ•u) + (λ•v) (λ + µ)•u = (λ• u) + (µ • u)
(λμ)•u = λ•(µ•u) 1•u = u
De l'axiome 1, il découle que E est nécessairement non vide. Les axiomes 1 et 2 impliquent que 0E est « absorbant à droite » pour la loi • (i.e. le produit de 0E par un scalaire quelconque vaut